Here be a line, if not the image is missing
 

Raja-arvo ja jatkuvuus

Aloitussivu

Raja-arvo on matemaattisen analyysin — differentiaali- ja integraalilaskennan — tärkein peruskäsite. Erikseen puhutaan yleensä lukujonon raja-arvosta ja funktion raja-arvosta.

 
 

Havainnollisesti voidaan sanoa, että lukujonon a1, a2, a3, … raja-arvo on a, jos jonon luvut tulevat miten lähelle tahansa lukua a, kun jonossa edetään kyllin pitkälle. Tällaisena määritelmä ei kuitenkaan ole riittävän täsmällinen, jotta sitä voitaisiin soveltaa millaiseen lukujonoon tahansa.

Määritelmä asetetaankin sen takia hieman teknisemmin tarkastelemalla positiivista etäisyyskynnystä ϵ ja tätä vastaavaa lukujonon indeksiarvoa n0 (joka ilmaisee kuinka mones jonon termi on kyseessä).

Raja-arvojen laskeminen perustuu määritelmän perusteella todistettaviin lauseisiin. Näiden lisäksi nojaudutaan aiemmin laskettuihin raja-arvoihin, jolloin periaatteessa syntyy puumainen rakenne.

M Lukujonon raja-arvon määritelmä
M Lukujonon suppeneminen ja hajaantuminen
M Lukujonon raja-arvon laskeminen

 

Funktion f(x) raja-arvo on b muuttujan x lähestyessä arvoa a, jos funktion arvot tulevat miten lähelle tahansa lukua b, kunhan vain x on riittävän lähellä lukua a. Tarkastelun kohteena ovat funktion arvot luvun a ympärillä, mutta funktion arvoa f(a) ei tällöin oteta huomioon; sillä ei ole vaikutusta.

Edellä sanottu ei taaskaan ole riittävän täsmällistä, joten varsinainen määritelmä asetetaan hieman teknisemmin.

Funktioiden raja-arvojen laskeminen tapahtuu hyvin samaan tapaan kuin lukujonojen raja-arvojen laskeminen.

M Funktion raja-arvon määritelmä
M Toispuoliset raja-arvot; äärettömyys
M Funktioiden raja-arvon laskeminen

 

Reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio on havainnollisesti ottaen jatkuva, jos sen kuvaajassa ei ole hyppykohtia. Matemaattiselle analyysille on tyypillistä, että tämäkään lausuma ei ole riittävän täsmällinen kelvatakseen määritelmäksi.

Raja-arvon käsite tekee kuitenkin määrittelyn helpoksi: funktio on jatkuva tietyllä muuttujan arvolla x = a, jos funktion arvo ja funktion raja-arvo tässä kohdassa ovat yhtä suuret.

Määritelmä pitää sisällään ajatuksen, että raja-arvon tulee olla olemassa. Jos se ei ole olemassa, funktio ei ole jatkuva. Raja-arvon olemassaolo taas voi mitätöityä kahdella tavalla: joko funktion käyttäytyminen kohdan x = a eri puolilla on oleellisesti erilaista (toispuoliset raja-arvot ovat eri suuria) tai funktio käyttäytyy siinä määrin epäsäännöllisesti, että edes toispuoliset raja-arvot eivät ole olemassa.

M Jatkuvuuden määritelmä

Esimerkkejä

  1. Tarkastellaan funktion p(x) = 4x − 3 raja-arvoa kun x lähestyy seitsemää:

    lim 4x − 3 = 4 ⋅ 7 − 3 = 28 − 3 = 25 x→7

    Funktion raja-arvo pisteessä x = 7 on siis sama kuin funktion arvo pisteessä x = 7 , eli voimme sanoa funktion olevan jatkuva tässä pisteessä.

  2. √ -------- limx →∞ ( x2 + 5x − x)

    Päästäksemme juuresta osoittajassa lavennetaan vastaavalla summalla ja sovelletaan binomikaavaa 2 2 (a − b)(a + b) = a − b .
    √ -------- √ -2------ √ -2------ x2 + 5x − x = (--x-+-5x√-−--x)(--x-+-5x-+--x)- x2 + 5x + x √ -2------2 2 2 2 = (-√x--+-5x-)-−-x- = x√--+-5x-−-x--- x2 + 5x + x x2 + 5x + x 5x = √---2--------- x + 5x + x

    Saatu lauseke voidaan supistaa x :llä.

    √----5x-------= -√---5----- = ∘----5------ x2 + 5x + x -x2x+5x+ 1 1 + 5+ 1 x

    Lopuksi annamme x :n kasvaa rajatta.

    ∘----5------→ √----5----- = 5-, kun x → ∞ 5 1 + 0 + 1 2 1 + x + 1

    Raja-arvon ratkaisu on siis lim (√x2-+--5x-− x) = 5 x→∞ 2 .

  3. Kahden lukujonon raja-arvo äärettömyydessä.

    M     Esimerkkejä lukujonojen raja-arvoista

  4. Tutkitaan funktion f : ℝ → ℝ , { 2 f(x) = x + 4, x ≤ 0 3 − 2x, x > 0 jatkuvuutta pisteessä x = 0 . Aloitetaan tarkastelemalla funktion vasemmanpuoleista raja-arvoa, eli lähestytään pistettä x = 0 negatiivisesta suunnasta:

    lim f(x ) = lim x2 + 4 = 02 + 4 = 4. x→ −0 x→ −0

    Oikeanpuoleinen raja-arvo lasketaan vastaavasti:

    lim f(x) = lim 3 − 2x = 3 − 2 ⋅ 0 = 3. x→+0 x→+0

    Koska toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret, ei funktio voi olla jatkuva tässä pisteessä. Se on siis funktion epäjatkuvuuspiste.

  
 
  • Jos funktiolla on kummankinpuoleinen raja-arvo, mutta ne ovat eri suuret, puhutaan hyppyepäjatkuvuudesta. Funktion kuvaaja ”hyppää”.

M Esimerkkejä funktioiden epäjatkuvuuksista: hyppyepäjatkuvuus

 
  • Jatkuvuuden tarkastelua ϵ :n ja δ :n avulla.

(Mma) Jatkuvuus

Harjoitustehtäviä

  
 

  1. Laske raja-arvo:

    1.   2 limx →0 3x--+-4x- 2x

    2.   k + 2 limk →2 ------ k − 1

    3.  lim lg (x2 + 1 ) + 3x x→3

    4.   ( ) 1 1 limx →0 -2-----− -- x + x x

    5.   √ -- limx →1 --x-−-1- x − 1

    6.   x2 − 2x + 1 limx →1 ---x2 −-1---

  2. Laske raja-arvo äärettömyydessä:

    1.  limx → −∞ x3 + x2 + 2

    2.   2 limx → ∞ x--−-5x-+-1- 2x2 + x + 4

    3.   3x2 + 3x + 7 limx → ∞ x3-−-6x2-−-x-−-5-

    4.   3 − 4ex limx → ∞ ---x---- e

  3. Laske toispuoleiset raja-arvot limx→a+ f(x) ja limx→a − f(x):

    1.  f(x) = ---1---, a = 1 5x2 − 5

    2.   { 2 f(x) = 3 − x , x < 1 , a = 1 2x + 2, x ≥ 1

    3.   |4x2 − 1| 1 f(x) = --------, a = -- 2x − 1 2

  4. Millä x :n arvoilla funktio on jatkuva?

    1. -x-+-3- f(x) = x2 − 1
    2. ( { sin(2x), x < -π- f(x) = 12 ( 2x- + 1, x ≥ π-- π 3 12

  5. Millä vakion a ∈ ℝ arvolla funktio f : ℝ → ℝ on jatkuva koko määrittelyjoukossa?

    { 2 f (x ) = ax + 2x − 1, x < 2 ax + 1, x ≥ 2

Tehtävien vastaukset:

  1. tehtävä
  2. tehtävä
  3. tehtävä
  4. tehtävä
  5. tehtävä