Pikku-M: Käyrät ja pinnat

Here be a line, if not the image is missing

Käyrät ja pinnat

xy-tason käyrä voidaan periaatteessa määritellä kahdella tavalla — joko koordinaatteja x ja y sitovana yhtälönä tai parametriesityksenä, jolloin kumpikin koordinaatti esitetään funktiona käyräparametrista. Jokaista parametrin arvoa vastaa tällöin käyrän piste (x,y).

Tasokäyrä

xyz-avaruudessa käyrää vastaa pinta. Tällöin esityksenä voi olla koordinaatteja x, y ja z sitova yhtälö. Vaihtoehtona on parametriesitys, jossa kukin koordinaatti esitetään funktiona kahdesta parametrista.

Pinnan esitysmuodot

Yksinkertaisin käyrä on ympyrä ja yksinkertaisin pinta pallo.

Ympyrä ja sen yhtälö
Ympyrän parametriesitys
Pallon yhtälö

Toisen asteen käyräksi kutsutaan käyrää, jonka yhtälö koordinaattien x ja y suhteen on toista astetta. Ympyrä on tällainen käyrä. Muita toisen asteen käyriä ovat ellipsi, hyperbeli ja paraabeli. Ympyrä on ellipsin erikoistapaus. Näitä käyriä kutsutaan usein kartioleikkauksiksi, koska ne syntyvät kartiopinnan tasoleikkauksina.

Ellipsi
Hyperbeli
Paraabeli
Kartioleikkaukset

Esimerkkejä

Määritetään ympyrän yhtälö kun ympyrän keskipiste on $(2,2)$ ja säde $5$ .

Ympyrän yhtälö on $(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2$ , missä $(x0,y0)$ on keskipiste ja $r$ säde. Sijoitetaan arvot kaavaan

(x − 2)2 + (y − 2)2 = 52

Määritetään pisteiden $(0,0)$ , $(0, 1)$ ja $(3,0)$ kautta kulkevan ympyrän yhtälö.

Muodostetaan yhtälöryhmä käyttäen ympyrän kaavaa:

( |{ x20 + y20 = r2 2 2 2 |( x0 + (1 − y0) = r (3 − x0)2 + y20 = r2

Aloitetaan yhtälöryhmän ratkaisu merkitsemällä kahden ensimmäisen lausekkeen vasemmat puolet samoiksi ja ratkaisemalla siitä $y0$ :

x2 + y2 = x2 + (1 − y )2 0 02 0 02 y0 = 1 − 2y0 + y0 1 = 2y0 y = 1- 0 2

Ratkaistaan vastaavasti $x0$ :

x20 + y20 = (3 − x0)2 + y20 3 x0 = -- 2

Ympyrän keskipiste on siis $(3∕2,1 ∕2)$ . Ratkaistaan säde $r$ ensimmäisestä yhtälöstä:

(3)2 + ( 1)2 = r2 2 ∘ --2 ∘ -- 10 5 r = ---= -- 4 2

Kysytyn ympyrän yhtälö on $3 2 1 2 5 (x − 2) + (y − 2) = 2$ .

Etsitään ympyrälle $(x + 1)2 + (y − 5)2 = 8$ pisteen $Q = (0, 2)$ kautta kulkeva tangentti.

Ympyrän säde on $√ -- 8$ . Pisteen $Q$ etäisyys ympyrän keskipisteestä $P = (− 1,5)$ on

∘ -------------------- √ --- √ -- |−QP→ | = (− 1 − 0)2 + (5 − 2)2 = 10 > 8,

eli piste $Q$ on ympyrän ulkopuolella. Pisteen $Q$ kautta kulkeva tangentti on muotoa:

y − 2 = k(x − 0) y − 2 = kx kx − y + 2 = 0

Muodostetaan yhtälö käyttäen tietoa, että tangentin ja ympyrän keskipisteen etäisyys on lyhyimmillään säteen $√8--$ verran.
Pisteen $(x0,y0)$ etäisyys suorasta $ax + by + c = 0$ saadaan kaavalla

|ax0-+-by0 +-c| √a2-+--b2 .

√ -- 8 = |k-⋅ (−∘ 1-) +-(−-1) ⋅ 5-+-2| k2 + (− 1)2 √ -- |− k − 5 + 2| 8 = --√---------- √ -√ ------- k2 + 1 8 k2 + 1 = |− k − 3| 2 8 ⋅ (k2 + 1) = |− k − 3| 8k2 + 8 = k2 + 6k + 32 2 7k − 6k − 1 = 0 1 k = 1 tai k = − -- 7

Tangenttien yhtälöt ovat

1 x − y + 2 = 0 ja − -x − y + 2 = 0. 7

kuvaaja1

Selvitetään pallon $2 2 2 x + y + z − 2x + 4y − 8z − 4 = 0$ säde ja keskipiste muuttamalla se ensin keskipistemuotoon.

Järjestellään termejä uudelleen ja käytetään neliöksi täydentämistä:

x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 8z − 4 = 0 x2 − 2x + y2 + 2 ⋅ 2y + z2 − 2 ⋅ 4z = 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x − 2x + 1 + y + 2 ⋅ 2y + 2 + z − 2 ⋅ 4z + 4 = 4 + 1 + 2 + 4 (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 4)2 = 25 = 52

Saadusta keskipistemuodosta nähdään, että ympyrän keskipiste on $(1,− 2,4)$ ja säde $5$ .

Ellipsin akselit ovat koordinaattiakselien suuntaiset, ison akselin pituus on $12$ , ja pienen akselin pituus on $4$ . Määritetään ellipsin yhtälö.

Ellipsin kaava on $x2- y2- a2 + b2 = 1$ , missä $a$ on puolet ison akselin pituudesta ja $b$ puolet pienen akselin pituudesta. Kysytyn ellipsin yhtälö saadaan sijoittamalla arvot $a = 6$ ja $b = 2$ .

2 2 x--+ y--= 1 62 22

Yhtälö voidaan muuttaa toisen asteen käyrän muotoon kertomalla puolittain luvulla $2 6 = 36$ .

x2 y2 -2-⋅ 36 +-2-⋅ 36 = 1 ⋅ 36 6 2 2 2 x + 9y − 36 = 0

Origokeskeisen R-säteisen pallon sekä ruuvipinnan parametriesitykset.

Esimerkkejä pintojen parametriesityksistä

Harjoitustehtäviä

Mikä on ympyrän yhtälö, kun
1. keskipiste on $(2,3 )$ ja säde on $3$
2. keskipiste on $(− 1,0)$ ja säde on $1$
3. keskipiste on $(9,− 3)$ ja säde on $4$ ?
Onko piste ympyrän sisä- vai ulkopuolella?
1. $a = (0,1), P : (x − 2)2 + (y − 2)2 = 6$
2. $a = (− √5,-1), P : x2 + y2 + 4x + 2y + 1 = 0$
3. $√ -- 2 2 a = (6,7 + 3 5), P : x + y − 14y − 32 = 0$
4. $a = (0,0), P : (x − 4)2 + (y + 3)2 = 16$
Määritä pisteiden kautta kulkevan ympyrän yhtälö:
1. $(0,0)$ , $(0,2)$ ja $(4,0)$
2. $(− 1,2)$ , $(0,3 )$ ja $(4,− 1)$
Määritä ympyrän tangentti, joka kulkee pisteen kautta
1. $2 2 x + y − 2x − 4y − 20 = 0, a = (4,6)$
2. $x2 − 4x + y2 = 1, a = (1,2)$
3. $(x − 1)2 + (y + 1)2 = 52, a = (6,− 4)$
Mikä 2. asteen käyrä?
1. $2 2 x − 4y − 4 = 0$
2. $2 2 4x + 9y − 8x − 18y + 12 = 0$
3. $x2 + y2 + 6x − 4y + 6 = 0$

Tehtävien vastaukset: