Yhtälöryhmät

Yhtälöryhmien ratkaisemisessa yleispätevä menettely on ratkaista jostakin yhtälöstä yksi tuntematon muiden avulla ja sijoittaa saatu lauseke muihin yhtälöihin. Tällä tavoin ryhmä redusoidaan pienemmäksi: tuntemattomia on yksi vähemmän, samoin yhtälöitä.

Lineaarisen yhtälöryhmän — tuntemattomat esiintyvät vain ensimmäisessä potenssissa eikä niiden tuloja esiinny — menettely on helppo toteuttaa systemaattisesti; siitä käytetään nimtystä Gaussin algoritmi. Jos yhtälöryhmä on epälineaarinen — muunlainen — ei em. periaatetta välttämättä voi toteuttaa lainkaan ja ainoaksi mahdollisuudeksi jää yhtälöryhmän ratkaiseminen numeerisesti. Numeerisia menettelyjä on monia erilaisia ja sopivin riippuu yhtälöryhmän erityisominaisuuksista.

Esimerkkejä

1. Ratkaistaan lineaarinen yhtälöpari
   
   Tapa 1:
   Kerrotaan alempi yhtälö kolmella ja lasketaan yhtälöt puolittain yhteen:
   
   

   Tehdään sijoitus:

   

   Lopuksi kannattaa tarkistaa tulos. Yhtälöryhmä pätee, kun

   

   Tapa 2:
   Ratkaistaan alempi yhtälö :n suhteen ja sijoitetaan ylempään lausekkeeseen.

   

   Nyt voidaan ratkaista ja saatu vastaus on sama kuin 1. tavalla.
   
   

2. Kaksi lineaarista yhtälöryhmää.
   
   Esimerkki 1 yhtälöryhmän ratkaisemisesta
   Esimerkki 2 yhtälöryhmän ratkaisemisesta
   
   
3. Ratkaistaan yhtälöpari
   
   .
   
   Lasketaan yhtälöt auki ja vähennetään alempi ylemmästä rivistä ja ratkaistaan toinen muuttuja:
   
   

   Sijoitetaan saatu ratkaisu toiseen yhtälöistä.

   Sijoitetaan ratkaisut yhtälöön .

   

   Ratkaisut ovat pisteet ja .
   
   

4. Epälineaarinen yhtälöpari:

   Ratkaisut ovat ja .
   
   

5. 
   

   
   Esimerkki 3 yhtälöryhmän ratkaisemisesta
   
   

6. 
   

   
   Esimerkki 4 yhtälöryhmän ratkaisemisesta
   

Harjoitustehtäviä

1. Ratkaise lineaariset yhtälöparit:
   
   
   1.   
      
      
   2.   
      
      
   3.   
      
      
   4.   
      
      
   5.   
      
      
   6.   
      
      
   7.   
      
      
   8.   
      
      
2. Ratkaise:
   
   
   1.   
      
      
   2.   
      
      
   3.   
      
      
   4.   
      
      
   5.   
      
      
   6.   
      
      
3. Ratkaise:
   
   
   1.   
      
      
   2.   
      
      
   3.   
      
      
   4.   
      
      
   5.   
      
      
   6.   
      
      
4. Ratkaise epälineaariset yhtälöryhmät:
   
   
   1.   
      
      
   2.