Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
LUKUTEORIA
 

Ekvivalenssirelaatio

Kahden joukon A1 ja A2 karteesinen tulo A1 A2 on kaikkien sellaisten järjestettyjen parien (a1,a2) joukko, missä a1  (- A1 ja a2  (- A2; toisin sanoen

A1   A2 = {(a1,a2) |a1  (-  A1, a2  (-  A2}.

Karteesisesta tulosta A A käytetään myös merkintää A2.

Karteesisen tulon A A jokainen osajoukko R määrittää relaation joukossa A: jos pari (a,b)  (- R sanotaan, että alkio a on relaatiossa R alkion b kanssa. Relaatiota merkitään lyhyesti a R b.

Esimerkki. Reaalilukujen joukossa R mitkä tahansa kaksi lukua x ja y toteuttavat ainakin toisen relaatioista x < y tai x > y.

Määritelmä. Joukon A relaatiota R sanotaan joukon A ekvivalenssirelaatioksi, jos se täyttää seuraavat ehdot:

     E1.   refleksiivisyys:  A a  (- A : a R a
     E2.   symmetrisyys: jos a,b  (- A ja a R b, niin b R a
     E3.   transitiivisuus: jos a,b,c  (- A, a R b ja b R c, niin a R c.

Ekvivalenssirelaatiosta käytetään merkintää ~ . Jos a ~ b, sanotaan, että a on ekvivalentti alkion b kanssa. Symmetrian nojalla voidaan sanoa myös, että alkiot a ja b ovat ekvivalentit.

Esimerkki. Kaikissa joukoissa on triviaali ekvivalenssirelaatio yhtäsuuruus = .


Linkit:
Ekvivalenssiluokka