Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
LINEAARIALGEBRA
 

Vektoriavaruus

Määritelmä. Kolmikko (V, +, . ) on vektoriavaruus, jos V on epätyhjä joukko, jossa on määritelty alkioiden summa X + Y (+ on funktio V V --> V ) ja skalaarimonikerta aX ( .  on funktio R V --> V,  .  jätetään usein merkitsemättä) ja lisäksi nämä operaatiot toteuttavat seuraavat ehdot:

     V1.   X + Y = Y + X kaikilla X,Y  (- V (kommutatiivisuus eli vaihdantalaki),
     V2.   (X + Y ) + Z = X + (Y + Z) kaikilla X,Y,Z  (- V (assosiatiivisuus eli liitäntälaki),
     V3.   on olemassa sellainen h  (- V , että X + h = X kaikilla X  (- V (nolla-alkio),
     V4.   kaikilla X  (- V on olemassa sellainen -X  (- V, että X + (-X) = h (vasta-alkio),
     V5.   a(X + Y ) = aX + aY kaikilla a  (- R ja X,Y  (- V,
     V6.   (a + b)X = aX + bX kaikilla a,b  (- R ja X  (- V,
     V7.   a(bX) = (ab)X kaikilla a,b  (- R ja X  (- V,
     V8.   1X = X kaikilla X  (- V (tässä luku 1 on reaaliluku yksi).

Vektoriavaruuden alkioita kutsutaan vektoreiksi. Samoin puhutaan myös nollavektorista h ja alkion X vastavektorista -X.

Vektoriavaruudesta (V, +, . ) voidaan lyhyesti puhua vain vektoriavaruutena V, jos vektoriavaruuden operaatiot ovat selviä asiayhteydestä.

Lause. Vektoriavaruuden nollavektori ja alkion X vastavektori -X ovat yksikäsitteisiä.

Todistus. Tehdään vastaoletus, että vektoriavaruudella (V, +, . ) on kaksi nollavektoria h ja h'. Tarkastellaan nollavektoreiden summaa h + h'. Postulaatin V3 mukaan nollavektorin lisääminen ei muuta vektoria, joten h + h' = h. Samasta syystä h' + h = h'. Toisaalta ensimmäisen postulaatin mukaan h + h' = h' + h, joten h = h'.

Oletaan, että vektorilla X on vastavektorit -X ja X'. Lisäämällä yhtälön X + X' = h molemmille puolille -X saadaan vasemmasta puolesta käyttämällä postulaatteja V2, V4, V1 ja V3,

              '                   '        '     '        '
- X +  (X  + X  ) = (-X  + X)  + X  = h + X  =  X  + h = X

ja oikeasta puolesta postulaatin V3 nojalla -X + h = -X. Täten X' = -X. []


Linkit:
Esimerkkejä vektoriavaruuksista
Vektoriavaruuden ominaisuuksia