Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
LINEAARIALGEBRA
 

Vektoriavaruuden ominaisuuksia

Määritellään vektorien X ja Y erotus:

X  - Y  = X +  (-Y ).

Vektoriyhtälöstä X + Y = Z voidaan ratkaista X lisäämällä vektorin Y vastavektori -Y molemmille puolille, siis

(*)     jos X + Y  = Z, niin X =  Z - Y.

Oletetaan jatkossa, että kolmikko (V, +, . ) on vektoriavaruus.

Lause. Oletetaan, että a  (- R ja X  (- V. Jos a = 0 tai X = h, niin aX = h.

Todistus. Oletetaan ensin, että a = 0. Koska 0X + 0X = (0 + 0)X = 0X niin päättelyn (*) perusteella 0X = 0X - 0X = h. Jos X = h, saadaan samoin ah + ah = a(h + h) = ah ja käyttämällä päättelyä (*) nähdään, että ah = h. []

Lause. Olkoot a  (- R ja X  (- V. Jos a/=0 ja aX = h, niin X = h.

Todistus. Oletetaan, että aX = h ja a/=0. Silloin

X  = 1 .X =  (1-.a)X  = 1-(aX)  =  1h = h,
              a         a         a

missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa edellisestä lauseesta. []

Lause. Jos X  (- V niin (-1) . X on alkion X vasta-alkio.

Todistus. Pitää osoittaa, että X + (-1) . X = h. Saadaan

X+(- 1) .X   =  1 .X  + (- 1) .X  postulaatin V8 mukaan
          =  (1 + (- 1)) .X    postulaatin V6 mukaan

          =  0 .X
          =  h                 sivun ensimm  äisen lauseen mukaan.

[]

Edellisten lauseiden avulla saadaan kaavat -(X -Y ) = Y -X ja a(X -Y ) = aX -aY kaikilla X, Y  (- V ja a  (- R. Liitäntälain V2 perusteella kolmen vektorin X,Y,Z  (- V summa voidaan kirjoittaa muodossa X + Y + Z. Sama pätee yleisestikin useamman vektorin summaan. Yleisesti vektoriavaruudessa voidaan muodostaa lauseke

a1X1 + a2X2  + ...+ anXn       A X1, ...,Xn  (-  V,  A a1,...,an  (-  R,

joka siis merkitsee erästä (yksikäsitteistä) vektoria. Tätä sanotaan vektorien X1,...,Xn lineaarikombinaatioksi.


Linkit:
Vektoriavaruus