Lisää lineaarisesta riippuvuudesta

Lineaarisesta riippuvuudesta on hyvä huomata seuraavat asiat:

     (i)   Jos joukko S on lineaarisesti riippuva ja S T, niin joukko T on lineaarisesti riippuva.
     (ii)   Joukko, joka sisältää nollavektorin {}, on lineaarisesti riippuva.
     (iii)   Jos joukko T on lineaarisesti riippumaton, niin samoin on sen osajoukko S.

Kohta (i) seuraa siitä, että lisäämällä joukon S vektorien muodostamaan epätriviaaliin relaatioon joukon T \ S vektorit nollalla kerrottuina saadaan joukon T epätriviaaali relaatio. Kohta (ii) seuraa edellisestä kohdasta sillä joukko {} on lineaarisesti riippuva. Kohta (iii) todistetaan epäsuorasti. Jos lineaarisesti riippumattoman joukon T osajokko S olisi lineaarisesti riippuva, siitä seuraisi kohdan (i) nojalla ristiriita.

Tarkastellaan vielä tapausta, jossa vektoriavaruutena on (ⁿ, +, ^. ). Merkitään vektoreita

Nyt m :n vektorin lineaarinen relaatio

voidaan esittää lineaarisena homogeenisena yhtälöryhmänä

Vektorit X₁ , ...,X_m ovat lineaarisesti riippuvia jos ja vain jos tällä yhtälöryhmällä on epätriviaali ratkaisu (c₁,...,c_m).

Determinanttien teoriassa todistetaan sivulla Lineaarinen riippuvuus ja homogeeniset yhtälöryhmät, että tällaisella lineaarisella homogeenisella yhtälöryhmällä on aina epätriviaali ratkaisu, kun n < m eli kun yhtälöitä on vähemmän kuin tuntemattomia. Täten siis vektorit X₁ , ...,X_m ovat aina lineaarisesti riippuvia vektoriavaruudessa (ⁿ, +, ^. ), kun m > n.

Linkit:
Lineaarinen riippuvuus
Lineaariset yhtälöt ja yhtälöryhmät
Lineaarinen riippuvuus ja homogeeniset yhtälöryhmät