| Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA Versio 1, 1.11.2003 | LINEAARIALGEBRA |
Aliavaruuden muodostaminen
Vektoriavaruudesta (V, +, . ) voidaan muodostaa aliavaruuksia valitsemalla jotkin joukon V vektorit X1,...,Xn ja muodostamalla näiden kaikki mahdolliset lineaarikombinaatiot. Saadaan siis joukko
Kolmikko (L(X1,...,Xn), +, . ) on vektoriavaruuden (V, +, . ) aliavaruus: Joukko
L(X1,...,Xn) on selvästi epätyhjä. Jos X ja Y ovat vektorien X1,...,Xn lineaarikombinaatioita,
niin samoin on myös aX + bY kaikilla a,b 
, joten aX + bY L(X1,...,Xn). Aliavaruutta
(L(X1,...,Xn), +, . ) sanotaan vektoreiden X
1,...,Xn virittämäksi tai generoimaksi. Jos
L(X1,...,Xn) = V sanotaan, että vektorit X1,...,Xn virittävät tai generoivat vektoriavaruuden
(V, +, . ).
Tunnetuista aliavaruuksista voidaan muodostaa uusia aliavaruuksia myös seuraavan lauseen avulla.
Lause. Jos (U1, +, . ) ja (U
2, +, . ) ovat vektoriavaruuden (V, +, . ) aliavaruuksia, niin
samoin on niiden leikkaus (U1 
U2, +, . ). Sama pätee myös useamman (jopa äärettömän
monen) aliavaruuden leikkaukseen.
Todistus. Olkoon 
vektoriavaruuden (V, +, . ) nollavektori. Koska U
1 ja U2, niin
U1 U2. Leikkaus on siis epätyhjä.
Jos a,b ja X,Y U1 U2, silloin aX + bY U1 ja aX + bY U2, joten aX + bY U1 U2.
Aliavaruuskriteerin (AB) nojalla (U1 U2, +, . ) on aliavaruus.
Päättely voidaan yleistää useamman aliavaruuden leikkaukseen. ![[]](images/msam10-c-3.gif)