Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
LINEAARIALGEBRA
 

Matriisi

Määritelmä. Olkoot n,m > 1 kokonaislukuja. Jos aij  (- R kaikilla 1 < i < m ja 1 < j < n, niin taulukkoa

     (                           )
        a11   a12  a13  ...  a1n
        a21   a22  a23  ...  a2n
A  =     ..     ..    ..         ..     = (aij)mn
         .     .    .         .
        am1  am2   am3  ...  amn

sanotaan (m n)-matriisiksi. Merkinnässä (aij) luku i tarkoittaa siis vaakariviä ja luku j pystyriviä.

Käytetään merkintää (i,j) matriisin i :nnen vaakarivin ja j :nnen pystyrivin leikkauksessa olevasta paikasta.

Matriisin alkiot voivat olla myös kompleksilukuja tai yleisemmin tietyt ehdot täyttävän joukon alkioita. Käsitellään nyt kuitenkin vain reaalilukualkioisia matriiseja.

Kaksi matriisia A = (aij)mn ja B = (bij)hk ovat samaa tyyppiä, jos m = h ja n = k. Jos lisäksi aij = bij kaikilla lukujen i ja j arvoilla ovat matriisit A ja B yhtäsuuret.

Jos matriisin A vaakarivit vaihdetaan pystyriveiksi saadaan matriisin A transponoitu matriisi AT , siis

      (                          )
         a11  a21  a31  ...  am1
         a    a    a    ...  a
AT  =      12.    22.    32.        m.2    .
           ..    ..    ..        ..
         a1n  a2n  a3n  ...  amn

Transponoitu matriisi on tyyppiä n m. Vektorin X = (x1,...,xn) voidaan ajatella olevan (1 n)-matriisi. Silloin siis

      (     )
         x1
XT  =     ...    .

         xn

Vektoria X voidaan sanoa vaakavektoriksi ja matriisia XT pystyvektoriksi.

Matriisin A i :nnestä vaakarivistä voidaan käyttää lyhennysmerkintää Ai. Vastaavasti j :nnestä pystyrivistä eli sarakkeesta voidaan käyttää merkintää A(j). Siis

                (  A   )
                    .1        (1)      (n)
A =  (aij)m n =     ..    =  (A   ,...,A   ),
                   Am

missä

 Ai   =  (ai1,ai2,...,ain)    (i = 1,...,m)
A(j)  =  (a1j,a2j,...,amj)T  (j = 1,...,n).


Linkit:
Yksinkertaisia matriiseja