Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
LINEAARIALGEBRA
 

Matriisien summa ja skalaarimonikerta

Määritelmä. Kahden (m n)-matriisin A = (aij) ja B = (bij) summa on

A + B  = (aij + bij).

Siis summassa samoissa kohdissa olevat alkiot lasketaan yhteen. Huomaa, että summa on määritelty vain samaa tyyppiä oleville matriiseille.

Reaaliluvun k ja matriisin A = (aij) tulo eli matriisin skalaarimonikerta on

kA  = (kaij).

Siis reaaliluku k kerrotaan jokaisen matriisin alkion kanssa.

Lause. Kaikkien reaalialkioisten (m n)-matriisien joukko Mmn(R) muodostaa vektoriavaruuden edellä määriteltyjen laskutoimitusten suhteen. Tämän vektoriavaruuden nolla-alkio on nollamatriisi ja matriisin A = (aij) vasta-alkio on vastamatriisi -A = (-aij).

Todistus. Väite todistetaan tarkistamalla vektoriavaruuden ehtojen V1-V8 toteutuvuus. Tehdään esimerkkinä ehto V6 ja jätetään muut harjoitukseksi. Olkoot x,y  (- R ja A = (aij)  (- Mmn(R); silloin (x + y)A = ((x + y)aij) = (xaij + yaij) = (xaij) + (yaij) = xA + yA. []

Lauseen mukaan voidaan puhua matriisien A,B  (- Mmn(R) erotuksesta A - B aivan kuten tehtiin sivulla Vektoriavaruuden ominaisuuksia.

Huomaa, että (m n)-matriisit käyttäytyvät laskutoimituksissa summa ja skalaarimonikerta samoin kuin järjestetyt lukujonot, joiden pituus on mn. Tällaisia jonoja voidaan muodostaa matriisista kirjoittamalla esimerkiksi sen kaikki vaakarivit peräkkäin yhdelle riville. Voidaan sanoa, että vektoriavaruus (Mmn(R), +, . ) on isomorfinen vektoriavaruuden (Rmn, +, . ) kanssa.


Linkit:
Matriisi
Yksinkertaisia matriiseja
Vektoriavaruus
Vektoriavaruuden ominaisuuksia