Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
LINEAARIALGEBRA
 

Matriisitulon ominaisuuksia

Lause. (Assosiatiivilaki) Olkoot A = (aij)nm, B = (bij)mp ja C = (cij)pq matriiseja. Silloin

A(BC)  =  (AB)C.

Todistus. Matriisin AB paikassa (i,j) (1 < i < n, 1 < j < p) on alkio  sum m
  k=1aikbkj. Täten matriisin (AB)C paikassa (i,l) (1 < i < n, 1 < l < q) on alkio

 p   m               p  m
 sum    sum               sum    sum 
   (    aikbkj)cjl =        aikbkjcjl.
j=1 k=1             j=1 k=1

Toisaalta matriisin BC paikassa (k,l) (1 < k < m, 1 < l < q) on alkio  sum 
  p
  j=1bkjcjl ja täten matriisin A(BC) paikassa (i,l) (1 < i < n, 1 < l < q) on alkio

 sum m     sum p          m sum    sum p
   aik(    bkjcjl) =        aikbkjcjl.
       j=1             j=1
k=1                 k=1

Koska summauksen järjestyksen vaihto ei muuta summaa, saadaan väite. []

Lause. (Distributiivilait)

A(B  + C) =  AB  + AC,      (A + B)C  =  AC  + BC.

Todistus. Todistetaan ensimmäinen distributiivilaki, toinen voidaan todistaa samoin. Merkitään A = (aij)nm, B = (bij)mp ja C = (cij)mp. Silloin B + C = (bkj + ckj)mp. Täten matriisin A(B + C) paikassa (i,j) (1 < i < n, 1 < j < p) on alkio

 sum m
    aik(bkj + ckj).
k=1

Toisaalta AB =   sum m
(  k=1aikbkj) np ja AC =   sum m
(   k=1aikckj) np, joten matriisin AB + AC paikassa (i, j) (1 < i < n, 1 < j < p) on alkio

 m          m
 sum            sum 
   aikbkj +    aikckj.
k=1         k=1

Koska  sum 
mk=1aik(bkj + ckj) =  sum 
  mk=1aikbkj +  sum 
   mk=1aikckj, saadaan väite. []


Linkit:
Matriisien algebraa
Matriisitulo