Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
LINEAARIALGEBRA
 

Lisää matriisitulosta

Lause. (Skalaarin siirto) Jos A = (aij)nm ja B = (bij)mp ovat matriiseja ja r on jokin reaaliluku, niin

r(AB)  = (rA)B  = A(rB).

Todistus. Kirjoitetaan

( sum m       )       (   sum m      )       ( m sum           )       (  sum m        )
r(AB)=r  a  b       =   r     a b       =       (ra )b       =       a  (rb  )     .
     ij jk                ij jk                ij jk               ij   jk
j=1       n p      j=1        np     j=1          np     j=1          np

Tässä toiseksi viimeinen matriisi on (rA)B ja viimeinen on A(rB). []

Seuraava lause on helppo nähdä todeksi.

Lause. Kaikilla matriiseilla A = (aij)nm on

AIm  =  InA = A,

  A0 =  0A = 0.

Assosiatiivilain nojalla voidaan kolmen matriisin tulo kirjoittaa ilman sulkeita ABC ja yleisemmin monen matriisin tulo voidaan kirjoittaa A1A2...Ak. Jos A on (nn)-neliömatriisi, sen potenssi määritellään luonnollisella tavalla:

A0 =  In,    Ak =  A ...A    (k tekij)   A  k > 1.

Silloin

Ak  + Ah =  Ak+h,     (Ak)h = Akh      A  k,h > 0.

Huomaa, että (AB)k = ABAB...AB, joka on yleensä eri matriisi kuin AkBk, kun k > 2.

Lause. (AB)T = BT AT .

Todistus. Merkitään A = (aij)nm ja B = (bij)mp. Tällöin

AT =  (a'ij)m n    BT  = (b'ij)pm,     miss  a'ij = aji ja b'ij = bji.

Tulo BT AT on siis määritelty ja BT AT = (v ij)pn, missä

      m           m           m
      sum    '  '    sum            sum 
vij =     bika kj =    bkiajk =     ajkbki.
     k=1          k=1          k=1

Alkio vij on siis matriisin AB paikassa (j,i) oleva alkio. []

Käyttämällä toistuvasti edellistä lausetta saadaan:

(A1A2  ...Ak)T =  ATk ATk- 1...AT1.


Linkit:
Matriisitulo
Yksinkertaisia matriiseja
Matriisitulon ominaisuuksia