Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
LINEAARIALGEBRA
 

Determinantti

Määritelmä. Olkoon A (2 2)-matriisi ja olkoon B (3 3)-matriisi:

     (       )          (  a  b   c )
        a  b
A  =    c  d       B  =    d  e  f    .
                           g  h   i

Matriisin A determinantti on

         ||      ||
det(A)  = | a  b |=  ad - cb.
         | c  d |

Matriisin B determinantti on

          |         |
          | a  b  c |
det(B)  = || d  e  f || = aei - af h-  bdi + bf g + cdh - ceg.
          ||         ||
            g  h  i

Determinantti voidaan määritellä kaikille neliömatriiseille. Yleistä määrittelyä varten esitetään ensin permutaation käsite ja joitakin siihen liittyviä käsitteitä.

Määritelmä. Jonoa (j1,j2,...,jn) sanotaan lukujen 1, 2,...,n permutaatioksi, jos jonossa ovat kaikki luvut 1, 2,...,n jossain järjestyksessä.

Permutaatiossa (j1,j2,...,jn) sanotaan paria jh,jk käännetyksi, jos h < k ja jh > jk. Käännettyä paria voidaan sanoa myös inversioksi.

Permutaatiota sanotaan parilliseksi tai parittomaksi sen mukaan, onko permutaatiossa parillinen vai pariton määrä käännettyjä pareja. Permutaation merkki on

                    {
                       +1,   jos (j1,j2,...jn) on parillinen,
sign(j1,j2,...,jn) =    -1,   jos (j1,j2,...jn) on pariton.

Nyt voidaan määritellä yleisen (n n)-matriisin A = (aij) determinantti.

Määritelmä.

     |                    |
     | a11  a12  ... a1n  |
     || a    a    ... a    ||   sum 
det(A) = ||  2.1   2.2        2n.  ||=     sign(j1,j2,...,jn)a1j1a2j2 ...anjn,
     |  ..    ..         ..  |
     || an1  an2  ... ann  ||

missä summaan otetaan kaikki lukujen 1, 2,...,n permutaatiot (j1,j2,...,jn).

Lukujen 1, 2, ...,n permutaatioita on n! = 1 . 2 . 3...n kappaletta. Täten determinantin yleisessä määrittelyssä yhteenlaskettavia on n! kappaletta. Luku n! kasvaa nopeasti luvun n kasvaessa ja siksi määritelmän menetelmä determinantin laskemiseksi suurelle neliömatriisille on tehotonta. Determinantin laskemista voidaan kuitenkin helpottaa kuten käy ilmi sivulta Determinantin perusominaisuuksia.


Linkit:
Matriisi
Determinantin perusominaisuuksia