Determinantti

Määritelmä. Olkoon A (2 × 2)-matriisi ja olkoon B (3 × 3)-matriisi:

Matriisin A determinantti on

Matriisin B determinantti on

Determinantti voidaan määritellä kaikille neliömatriiseille. Yleistä määrittelyä varten esitetään ensin permutaation käsite ja joitakin siihen liittyviä käsitteitä.

Määritelmä. Jonoa (j₁,j₂,...,j_n) sanotaan lukujen 1, 2,...,n permutaatioksi, jos jonossa ovat kaikki luvut 1, 2,...,n jossain järjestyksessä.

Permutaatiossa (j₁,j₂,...,j_n) sanotaan paria j_h,j_k käännetyksi, jos h < k ja j_h > j_k. Käännettyä paria voidaan sanoa myös inversioksi.

Permutaatiota sanotaan parilliseksi tai parittomaksi sen mukaan, onko permutaatiossa parillinen vai pariton määrä käännettyjä pareja. Permutaation merkki on

Nyt voidaan määritellä yleisen (n × n)-matriisin A = (a_ij) determinantti.

Määritelmä.

missä summaan otetaan kaikki lukujen 1, 2,...,n permutaatiot (j₁,j₂,...,j_n).

Lukujen 1, 2, ...,n permutaatioita on n! = 1 ^. 2 ^. 3n kappaletta. Täten determinantin yleisessä määrittelyssä yhteenlaskettavia on n! kappaletta. Luku n! kasvaa nopeasti luvun n kasvaessa ja siksi määritelmän menetelmä determinantin laskemiseksi suurelle neliömatriisille on tehotonta. Determinantin laskemista voidaan kuitenkin helpottaa kuten käy ilmi sivulta Determinantin perusominaisuuksia.

Linkit:
Matriisi
Determinantin perusominaisuuksia