Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
LINEAARIALGEBRA
 

Transponoidun matriisin determinantti

Lause. Olkoon A = (aij)nn neliömatriisi. Silloin

      T
det(A  ) = detA.

Todistus. Olkoon A = (aij) ja merkitään AT = (b ij), missä bij = aji. Determinantin määritelmän mukaan on

T sum                                      sum 
det(A)=   sign(i1,i2,...,in)b1i1b2i2 ...bnin =   sign(i1,i2,...,in)ai11ai22...ainn.

Summassa ovat mukana tarkalleen kaikki sellaiset tulot, joissa on yksi alkio matriisin (bij) jokaiselta vaakariviltä ja yksi jokaiselta pystyriviltä. Siis summassa ovat mukana tarkalleen kaikki samat tulot kuin matriisin (aij) determinantin määritelmän mukaisessa summalausekkeessa. Edellä tulon tekijät on järjestetty pystyrivien mukaiseen järjestykseen; järjestämällä tulon tekijät vaakarivien mukaiseen järjestykseen saadaan

            sum 
det(AT ) =     sign(i1,i2,...,in)a1ja2j ...anjn.
                                  1   2

Tarkastellaan summan termiä ai11ai22...ainn = a1j1a2j2...anjn. Nyt sign(j1,j2,...,jn) termille a1j1a2j2...anjn voidaan laskea seuraavasti: Merkitään (n n)-taulukkoon merkki X jokaiseen kohtaan (k,jk), missä k käy läpi vaakarivit (1 < k < n). Jokaiselle riville ja sarakkeelle tulee siis tarkalleen yksi merkki X. Kirjoitetaan jokaisella rivillä merkki O niihin merkin X vasemmanpuoleisiin ruutuihin, joiden yläpuolella samalla sarakkeella ei ole merkkiä X. Kaikkien merkkien O lukumäärä on käännettyjen parien lukumäärä permutaatiossa (j1,j2,...,jn).

Termiä ai1 1 ai2 2...ainn tarkasteltaessa tehdään taas (n n)-taulukko, jossa merkitään X :llä ruutuja (ik , k), kun k käy pystyrivit, 1 < k < n. Koska ai11ai22...ainn = a1j1a2j2...anjn, on saatu taulukko sama kuin edellä. Nyt lasketaan permutaation (i1,...,in) käännetyt parit seuraavasti. Jokaisessa sarakkeessa merkitään O :lla niitä taulukon ruutuja, jotka ovat merkin X yläpuolella ja joiden kanssa samalla rivillä oikealla ei ole merkkiä X. Merkkien O lukumäärä on käännettyjen parien lukumäärä. Molemmilla tavoilla laskettaessa lasketaan tarkalleen samat taulukon ruudut, joten sign(i1,...,in) = sign(j1,...,jn). Täten on saatu väite. []

|----|---|
OOOX---|---|
OX----|---|
OO    |X  |
OX----|---|
|----|---|
X---------
Esimerkki (5 5)-taulukosta, jossa vaakarivien X-merkit muodostavat permutaation (4,2,5,3,1) ja pystyrivien X-merkit permutaation (5,2,4,1,3).
Tämän lauseen tärkeä seuraus on, että sivun Determinantin perusominaisuuksia ominaisuudet (D1)-(D6) pitävät paikkansa, kun niissä sana vaakarivi korvataan sanalla pystyrivi.


Linkit:
Determinantti
Determinantin perusominaisuuksia