Transponoidun matriisin determinantti

Lause. Olkoon A = (a_ij)_n×n neliömatriisi. Silloin

Todistus. Olkoon A = (a_ij) ja merkitään A^T = (b _ij), missä b_ij = a_ji. Determinantin määritelmän mukaan on

Summassa ovat mukana tarkalleen kaikki sellaiset tulot, joissa on yksi alkio matriisin (b_ij) jokaiselta vaakariviltä ja yksi jokaiselta pystyriviltä. Siis summassa ovat mukana tarkalleen kaikki samat tulot kuin matriisin (a_ij) determinantin määritelmän mukaisessa summalausekkeessa. Edellä tulon tekijät on järjestetty pystyrivien mukaiseen järjestykseen; järjestämällä tulon tekijät vaakarivien mukaiseen järjestykseen saadaan

Tarkastellaan summan termiä a_i11a_i22a_inn = a_1j1a_2j2a_njn. Nyt sign(j₁,j₂,...,j_n) termille a_1j1a_2j2a_njn voidaan laskea seuraavasti: Merkitään (n × n)-taulukkoon merkki X jokaiseen kohtaan (k,j_k), missä k käy läpi vaakarivit (1 < k < n). Jokaiselle riville ja sarakkeelle tulee siis tarkalleen yksi merkki X. Kirjoitetaan jokaisella rivillä merkki O niihin merkin X vasemmanpuoleisiin ruutuihin, joiden yläpuolella samalla sarakkeella ei ole merkkiä X. Kaikkien merkkien O lukumäärä on käännettyjen parien lukumäärä permutaatiossa (j₁,j₂,...,j_n).

Termiä a_{i1 1} a_{i2 2}a_inn tarkasteltaessa tehdään taas (n × n)-taulukko, jossa merkitään X :llä ruutuja (i_k , k), kun k käy pystyrivit, 1 < k < n. Koska a_i11a_i22a_inn = a_1j1a_2j2a_njn, on saatu taulukko sama kuin edellä. Nyt lasketaan permutaation (i₁,...,i_n) käännetyt parit seuraavasti. Jokaisessa sarakkeessa merkitään O :lla niitä taulukon ruutuja, jotka ovat merkin X yläpuolella ja joiden kanssa samalla rivillä oikealla ei ole merkkiä X. Merkkien O lukumäärä on käännettyjen parien lukumäärä. Molemmilla tavoilla laskettaessa lasketaan tarkalleen samat taulukon ruudut, joten sign(i₁,...,i_n) = sign(j₁,...,j_n). Täten on saatu väite.

Esimerkki (5 × 5)-taulukosta, jossa vaakarivien X-merkit muodostavat permutaation (4,2,5,3,1) ja pystyrivien X-merkit permutaation (5,2,4,1,3).

Linkit:
Determinantti
Determinantin perusominaisuuksia