Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
LINEAARIALGEBRA
 

Determinantin rivikehitelmät

Lause. Matriisin A = (aij)nn determinantilla on seuraavat lausekkeet, kun 1 < i < n ja 1 < j < n :

         sum n                     sum n
detA  =     a C       det A =     a  C  .
             ik  ik                 kj  kj
        k=1                    k=1

Ensimmäistä näistä kehitelmistä sanotaan determinantin rivikehitelmäksi i :nnen vaakarivin mukaan ja jälkimmäistä determinantin rivikehitelmäksi j :nnen pystyrivin mukaan.

Todistus. Sivun Transponoidun matriisin determinantti lauseen mukaan riittää todistaa vain vaakarivikehitelmän olemassaolo.

Determinantti määriteltiin summalausekkeella

 sum 
    sign(j1,j2,...,jn)a1j1a2j2 ...anjn,

missä summaan otetaan kaikki lukujen 1, 2,...,n permutaatiot (j1,j2,...,jn).

Ajatellaan nyt tässä summalausekkeessa kootuksi yhteen ne summan termit, jotka sisältävät kertoimen ai1, samoin ne, jotka sisältävät kertoimen ai2 ja niin edelleen. Näiden yhteenlaskettavien erottaminen on mahdollista sillä missään termissä a1j1a2j2...anjn ei esiinny kahta luvuista ai1,ai2,...,ain. Ottamalla kukin luvuista ai1,ai2,...,ain osasummissa yhteiseksi tekijäksi, saadaan: det A = ai1ci1 + ai2ci2 + ... + aincin. Vielä pitää osoittaa, että cik = Cik kaikilla 1 < k < n.

Osoitetaan ensin, että c11 = C11. Kokoamalla matriisin A determinantin lausekkeessa yhteen ne termit, jotka sisältävät kertoimen a11, saadaan

c  =  sum   sign(1,j ,...,j )a   ...a   ,
 11              2      n  2j2     njn

missä summa lasketaan yli lukujen 2,...,n kaikkien permutaatioiden (j2,...,jn). Koska mikään pareista 1,jh ei ole käännetty, on sign(1,j2,...,jn) = sign(j2,...,jn). Täten c11 = det A11 = (-1)1+1 det A 11 = C11.

Tutkitaan seuraavaksi mielivaltaisen alkion aik kerrointa cik. Siirretään i :s vaakarivi ensimmäiseksi vaakariviksi tekemällä i - 1 peräkkäisten vaakarivien vaihtoa. Näin saadussa matriisissa siirretään k :s pystyrivi ensimmäiseksi tekemällä k - 1 vierekkäisten pystyrivien vaihtoa. Näin on saatu alkio aik matriisin yläkulmaan alkion a11 paikalle. Käytetään merkintää A' muokatusta matriisista. Lukuunottamatta ensimmäistä vaakariviä ja pystyriviä on kaikkien rivien ja sarakkeiden keskinäinen järjestys säilynyt matriisissa A' samana kuin alkuperäisessä matriisissa A. Täten matriisissa A' alkion aik (joka on siis matriisin yläkulmassa) alideterminantti on edellä todistetun nojalla sama kuin matriisissa A. Siis determinantin A' lausekkeessa (kun tälle determinantin lausekkeelle tehdään samanlainen rivikehitelmä kuin matriisille A) on alkion aik kertoimena det Aik. Toisaalta Determinantin perusominaisuuden (D4) mukaan on matriisien A ja A' determinanttien lausekkeissa samat termit lukuunottamatta etumerkkejä ja tulon tekijöiden järjestystä. Siis matriisin A determinantin rivikehitelmässä on termi aik det Aik, joten cik = det Aik. Edelleen determinantin ominaisuuden (D4) mukaan saadaan etumerkki lasketuksi laskemalla rivivaihtojen lukumäärä. Etumerkiksi saadaan (-1)i-1+k-1 = (-1)i+k. Siis cik = (-1)i+k det A ik = Cik. []

Determinantin vaakarivikehitelmässä on siis i :nnen vaakarivin alkiot kerrottu komplementeillaan ja laskettu yhteen.


Linkit:
Alideterminantti ja komplementti
Determinantin perusominaisuuksia
Transponoidun matriisin determinantti