Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
LINEAARIALGEBRA
 

Matriisitulon determinantti

Identiteettimatriisin In determinantti on selvästi 1 kaikilla arvoilla n.

Olkoot A = (aij) ja B = (bij) kaksi (n n)-matriisia.

Lause. det(AB) = det A det B.

Todistus. Esitetään matriisi A käyttäen sen pystyrivejä: A = (A(1),...,A(n)). Matriisitulon määritelmän mukaan tulo AB voidaan esittää käyttäen pystyrivejä:

         sum n     (i) sum  n    (i)      sum n     (i)
AB   = (   bi1A  ,    bi2A  ,...,    binA   ).
        i=1        i=1             i=1

Täten

                  sum n         sum n            sum  n
det(AB)   =   det(    bi1A(i),   bi2A(i),...,    binA(i))
                 i=1        i=1            i=1
              sum n  sum n     sum n
         =           ...    b  b   ...b  (det(A(i1),...,A(in)))
                             i11 i22     inn
             i1=1 i2=1    in=1
Viimeinen yhtäsuuruus seuraa determinantin ominaisuuksien (D1) ja (D2) toistuvalla käytöllä.

Jos ylläolevassa summassa ih = ik, niin determinantissa det(Ai1,...,Ain) on kaksi samaa saraketta ja se on ominaisuuden (D5) ja sivun Transponoidun matriisin determinantti huomautuksen nojalla nolla. Täten summaan jää käsiteltäväksi vain ne summan alkiot, joissa indekseissä i1 ,i2,...,in esiintyy kukin luku 1, 2,...,n tarkalleen yhden kerran, toisin sanoen (i1 , i2 , ... , in ) käy läpi kaikki lukujen 1, 2,...,n permutaatiot.

Täten determinantin ominaisuuden (D4) nojalla, kun tehdään riittävän monta peräkkäistä sarakkeen vaihtoa, saadaan

det(A(i1),...,A(in)) =  det(A(1),A(2),...,A(n)).

Olkoon J kaikkien permutaatioiden (j1,...jn) joukko. Silloin

                  sum 
det(AB)    =            bi11bi22 ...binn det(A(1),...,A(n))
              (i1,...,in) (- J
                   sum 
           =  (          bi11bi22 ...binn)(detA).
               (i1,...,in) (- J
Koska yhtälö on voimassa kaikilla (nn)-matriiseilla on se voimassa myös, jos valitaan A = In. Silloin saadaan
                         sum 
det(InB)  = detB  = (          bi11bi22 ...binn).
                     (i1,...,in) (- J

Nyt siis det (AB) = det A det B. []


Linkit:
Determinantin perusominaisuuksia
Yksinkertaisia matriiseja
Matriisitulo
Transponoidun matriisin determinantti