Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
LINEAARIALGEBRA
 

Homogeeninen yhtälöryhmä

Lause. Jos lineaarisen homogeenisen yhtälöryhmän

{  a11x1  +   a12x2  +   ... +   a1nxn   =  0
   a21x1  +   a22x2  +   ... +   a2nxn   =  0
      ...         ...                   ...       ...

   an1x1  +   an2x2  +   ... +   annxn   =  0

kertoimista muodostuvan matriisin A determinantti on nollasta eroava, on yhtälöryhmällä vain triviaali ratkaisu. Jos kyseinen determinantti on nolla, on yhtälöryhmällä myös muita ratkaisuja.

Todistus. Jos det A/=0, niin yhtälöryhmällä on Cramerin säännön nojalla yksikäsitteinen ratkaisu. Koska yhtälöryhmällä on aina triviaali ratkaisu, ei sillä voi tässä tapauksessa olla muita ratkaisuja.

Oletetaan, että det A = 0. Voidaan olettaa, että kaikki matriisin alkiot eivät ole nollia (jos kaikki kertoimet olisivat nollia, olisi selvää, että yhtälöryhmällä on epätriviaaleja ratkaisuja). On siis olemassa sellainen luku k, 1 < k < n, että matriisilla A on ainakin yksi k-rivinen alideterminantti, joka on nollasta eroava, ja jokainen useampirivinen alideterminantti on nolla. Vaihtamalla tarvittaessa yhtälöryhmässä yhtälöiden ja tuntemattomien järjestystä saadaan

|              |
|| a11  ... a1k ||
|  ..        ..  |
||  .        .  || /= 0.
| ak1  ... akk |
(1)
Nyt
|                      |
|| a11  ...  a1k  a1,k+1 ||
|  ..         ..     ..   |
||  .         .     .   ||=  0,
|| ak1  ...  akk ak,k+1 ||
| ar1  ...  ark  ar,k+1 |

kaikilla r = 1, 2,...,n, sillä jos 1 < r < k, on determinantissa kaksi samaa vaakariviä, joten se on ominaisuuden (D5) mukaan nolla. Jos taas k + 1 < r < n, on determinantti (k + 1)-rivinen matriisin A alideterminantti ja siis oletuksen mukaan nolla. Kehitetään tämä determinantti alimman vaakarivin mukaan ja merkitään vastaavia komplementteja D1,D2,...Dk+1 (nämä eivät riipu luvusta r). Silloin kaikilla 1 < r < n saadaan

ar1D1 + ar2D2 +  ...+ ar,k+1Dk+1  = 0.

Täten tarkasteltavalla yhtälöryhmällä on ratkaisu

x1 = D1,  x2 = D2, ...,xk+1 = Dk+1,  xk+2 = ...=  xn = 0.

Saatu ratkaisu on epätriviaali, koska yhtälön (1) mukaan alideterminantti Dk+1/=0. []


Linkit:
Lineaariset yhtälöt ja yhtälöryhmät
Cramerin sääntö
Determinantin perusominaisuuksia