Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
LINEAARIALGEBRA
 

Säännöllinen matriisi

Määritelmä. Olkoon A (n n)-matriisi. Jos on olemassa sellainen (n n)-matriisi K, että

AK   = KA   = In,

missä In on identiteettimatriisi, niin sanotaan, että A on säännöllinen (tai kääntyvä, englanniksi non-singular). Matriisia K sanotaan matriisin A käänteismatriisiksi ja merkitään K = A-1.

Mikäli matriisilla A on käänteismatriisi, on se yksikäsitteinen. Todistetaan tämä vastaoletuksella, että matriisilla A olisi kaksi käänteismatriisia K ja K'. Kertomalla yhtälöä AK = In puolittain vasemmalta matriisilla K' saadaan käyttämällä matriisitulon assosiatiivisuutta yhtälön vasemmaksi puoleksi K'(AK) = (K'A)K = InK = K ja oikeaksi puoleksi K'In = K'. Täten K = K'.

Esimerkiksi diagonaalimatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat nollasta eroavia, on säännöllinen. Sillä, jos

  (                 )               (                        )
     d1  0  ...   0                    1/d1    0   ...    0
     0   d  ...   0                     0    1/d   ...    0
D=    .   .2       .    , niin D -1 =     .     .2         .     .
     ..   ..        ..                      ..     ..          ..
     0   0  ...  dn                     0      0   ...  1/dn

Lause. Matriisi A on säännöllinen jos ja vain jos det(A)/=0.

Todistus. Oletetaan ensin, että A on säännöllinen. Matriisitulon determinantti -sivun lauseen mukaan

1 = det(In) = det(AA -1) = det(A) det(A -1),

jolloin välttämättä det(A)/=0.

Oletetaan toiseksi, että det(A)/=0. Muodostetaan matriisi B = (Cij)T , missä C ij on matriisin A alkion aij komplementti. Merkitään D = AB, jolloin dij =  sum n
  k=1aikCjk. Jos i = j, niin sivun Determinantin rivikehitelmät lauseen nojalla dij = det(A). Jos i/= j, niin korvaa matriisin A j :s vaakarivi i :nnellä vaakarivillä ja kehittele vastaava determinantti j :nnen vaakarivin mukaan. Tämä kehitelmä on yhtäsuuri kuin dij, koska j :nnen vaakarivin alkiot eivät ole mukana komplementeissa Cjk ja siksi Cjk pysyvät vaakarivin vaihdossa muuttumattomina. Toisaalta determinantissa dij on kaksi samaa vaakariviä ja Determinantin perusominaisuuksia sivun kohdan (D5) perusteella dij = 0.

Edellinen päättely menee samoin myös tulolle BA, jolloin vain operaatiot tehdään pystyriveittäin. Matriisi D = AB = BA on siis diagonaalimatriisi, jonka lävistäjän alkiot ovat kaikki yhtäsuuria kuin det(A). Koska det(A)/=0, voimme jakaa matriisin B sillä ja saamme matriisin A käänteismatriisin. []

Todistuksen alkuosassa tuli lisäksi osoitettua, että säännöllisen matriisin A käänteismatriisin determinantti voidaan laskea kaavalla det(A-1) = det(A)-1.


Linkit:
Matriisi
Yksinkertaisia matriiseja
Matriisitulon determinantti
Alideterminantti ja komplementti
Determinantin rivikehitelmät
Determinantin perusominaisuuksia