Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
RYHMÄ
 

Ryhmä

Olkoon S joukko. Joukossa S määritellyllä binäärioperaatiolla (tai laskutoimituksella) * tarkoitetaan kuvausta S S --> S. Binäärioperaatio * toteuttaa siis ehdon:

 A  a,b  (-  S :   a * b  (-  S.

Määritelmä. Olkoon G epätyhjä joukko. Paria (G,*) sanotaan ryhmäksi, jos se toteuttaa seuraavat ehdot:

     (G0)   Jos a,b  (- G, niin a * b  (- G. Tällöin voidaan sanoa, että * on joukossa G määritelty binäärioperaatio tai joukko G on suljettu operaation * suhteen.
     (G1)   Kaikilla a,b,c  (- G :

a * (b * c) = (a * b) * c (liitšntš- eli assosiatiivilaki).


     (G2)   On olemassa sellainen joukon G alkio e (neutraalialkio), että kaikilla a  (- G :

a * e = e * a = a.


     (G3)   Jokaisella joukon G alkiolla on olemassa sellainen joukon G alkio a-1 (käänteisalkio), että

a *a- 1 = a-1 * a = e.



Jos ryhmä (G,*) täyttää lisäksi seuraavan ehdon sitä sanotaan kommutatiiviseksi ryhmäksi tai Abelin ryhmäksi:

     (G4)  Kaikilla a,b  (- G :

a *b = b *a     (vaihdanta- eli kommutatiivilaki).



Mikäli asiayhteydestä selviää ryhmän operaatio, voidaan puhua yksinkertaisesti vain ryhmästä G (eikä siis tarvitse puhua ryhmästä (G,*)).


Linkit:
Esimerkkejä ryhmistä
Ryhmän perusominaisuuksia