Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
RYHMÄ
 

Esimerkkejä ryhmistä

Esimerkki. Kokonaislukujen joukko Z muodostaa ryhmän, kun määritellään binäärioperaatioksi * yhteenlasku +. Tarkistetaan väite käymällä lävitse ehdot (G0) - (G3). Kokonaislukujen ominaisuuksien perusteella on selvää, että Z on suljettu operaation + suhteen ja että operaatio + on assosiatiivinen. Luku 0  (- Z on ryhmän (Z, +) neutraalialkio e, sillä kaikilla kokonaisluvuilla a :

0 *a =  0 + a = a = a + 0 = a * 0.

Luvun a käänteisalkio a-1 on nyt -a, sillä kaikilla a  (- Z

a *a -1 = a + (-a) = 0 =  -a + a = a -1 * a.

Nyt on näytetty, että (Z, +) on ryhmä. Koska a*b = a + b = b + a = b*a kaikilla a,b  (- Z, niin todetaan vielä, että (Z, +) on Abelin ryhmä.

Samoin voidaan todeta, että Q (rationaaliluvut), R (reaaliluvut) ja C (kompleksiluvut) muodostavat Abelin ryhmät yhteenlaskun suhteen.

Esimerkki. Joukko Q* = Q \{0} on Abelin ryhmä kertolaskun  .  suhteen. Ehdot (G0), (G1) ja (G4) ovat selviä. Ryhmän (Q*, . ) neutraalialkio on 1, sillä kaikilla a  (- Q* :

a .1 = a = 1 .a.

Samoin todetaan, että alkion a  (- Q* käänteisalkio on 1/a.

Samanlaisella päättelyllä voidaan osoittaa, että joukot R \{0} ja C \{0} ovat ryhmiä kertolaskun suhteen.

Esimerkki. Nopeasti ajateltuna voi tuntua, että kaikki joukot muodostavat ryhmiä luonnollisten operaatioiden suhteen. Näin ei kuitenkaan ole. Esimerkiksi joukko Z ei muodosta ryhmää kertolaskun suhteen. Ryhmän vaatimuksista toteutuvat kaikki ehdot paitsi (G3). Joukko Z on suljettu kertolaskun suhteen ja kertolasku on assosiatiivinen. Kaikilla luvuilla a  (- Z käy neutraalialkioksi luku 1. Joukon Z alkiot ovat jopa kommutatiivisia kertolaskun suhteen. Ehdon (G3) toteutumiseksi pitäisi kaikilla alkioilla olla käänteisalkio. Luku 0 aiheuttaa hankaluuksia, sillä 0 . a = 0 kaikilla a  (- Z, ja täten luvulla 0 ei ole käänteisalkiota. Käänteialkio on ongelmallinen muidenkin lukujen kuin 0 kanssa. Ehdosta a . a-1 = 1 seuraa, että a-1 = 1
a, mutta 1
a ei ole joukon Z alkio, kun a/=1. Siis muilla luvuilla kuin 1 ei ole käänteisalkiota.

Edellisen perusteella ei myöskään Z \{0} muodosta ryhmää kertolaskun suhteen.

Mieti, mikseivät Q, R ja C ole ryhmiä kertolaskun suhteen.


Linkit:
Ryhmä
Ryhmän perusominaisuuksia