Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
RYHMÄ
 

Esimerkkejä ryhmistä 2

Esimerkki.(VEKTORIRYHMÄT) Vektoriavaruuden (V, +, . ) vektorit muodostavat additiivisen Abelin ryhmän. Tämän ryhmän neutraalialkio on nollavektori h ja vektorin X käänteisalkio on vastavektori -X. Tällaisen ryhmän muodostaa esimerkiksi Rn = {(a 1,...,an) | ai  (- R, 1 < i < n}.

Esimerkki.(MATRIISIRYHMÄT) Reaalilukualkioisten (m n)-matriisien joukko Mmn(R) muodostaa additiivisen Abelin ryhmän matriisien yhteenlaskun suhteen. Ryhmän neutraalialkiona on nollamatriisi ja matriisin A käänteisalkiona on -A. (Tämä ryhmä kuuluu itse asiassa jo edellisen esimerkin piiriin.)

Säännöllisten (n n)-matriisien joukko

GLn(R)  =  {A  (-  Mn(R)  |det(A) /=  0}

muodostaa multiplikatiivisen ryhmän matriisitulon suhteen. Ryhmän neutraalialkio on identiteettimatriisi In ja matriisin A käänteisalkio on käänteismatriisi A-1. Kun n > 1, ryhmä (GLn(R), . ) on esimerkki ryhmästä, joka ei ole Abelin ryhmä.

Esimerkki.(JÄÄNNÖSLUOKKARYHMÄT) Jäännösluokat modulo m muodostavat Abelin ryhmän (Zm, +), kun yhteenlasku määritellään seuraavasti --
a + -
b = -----
a + b. Ryhmän neutraalialkio on jäännösluokka --
0 ja jäännösluokan --
a käänteisalkio on jäännösluokka ---
- a. Ryhmä (Zm, +) on esimerkki äärellisestä ryhmästä, sillä #Zm = m.

Jäännösluokkaa --
a modulo m sanotaan alkuluokaksi, jos syt(a,m) = 1. Tämä käsite on hyvin määritelty, sillä

jos syt(a,m) =  1 ja a-= a', niin syt(a',m) =  1.

Todistetaan tämä. Koska --
a = --
a', niin a = a' + mk jollekin kokonaisluvulle k. Koska syt(a,m) = 1, on olemassa sellaiset luvut u ja v, että 1 = ua + vm. Yhdistämällä nämä saadaan 1 = ua + vm = u(a' + mk) + vm = ua' + (uk + v)m. Koska luku 1 voidaan esittää lukujen a' ja m monikertojen summana, on syt(a',m) = 1.

Kaikkien alkuluokkien modulo m joukko

        --
Z*m = { a  (-  Zm |syt(a,m)  = 1}

muodostaa ryhmän jäännösluokkien kertolaskun --
a . -
b = ----
a .b suhteen. Ryhmän neutraalialkio on jäännösluokka --
1. Alkuluokan --
a käänteisalkio on se jäännösluokka, joka toteuttaa kongruenssin

ax  =_  1 (mod   m),

silloinhan -
a .  --
x = -----
a .x = --
1. Kuten Diofantoksen yhtälöiden kohdalla todetaan, tällä kongruenssilla on yksikäsitteinen ratkaisu x välillä 0 < x < m - 1.

Esimerkiksi Z*
9 = {--
1,--
2,--
4,--
5,--
7,--
8}.


Linkit:
Ryhmä
Vektoriavaruus
Matriisi
Yksinkertaisia matriiseja
Säännöllinen matriisi
Jäännösluokka
Suurin yhteinen tekijä
Diofantoksen yhtälö