Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
RYHMÄ
 

Esimerkkejä aliryhmistä

Esimerkki.

(Z,+) <  (Q,+)  < (R,+)  < (C, +)

(Q  \{0}, .) < (R \{0}, .) < (C \{0}, .)

Esimerkki. Pari (Z, +) on ryhmä. Merkitään jollekin kokonaisluvulle m > 1,

mZ   = {mk  |k  (-  Z}.

Osoitetaan käyttäen aliryhmäkriteeriä, että (mZ, +) on ryhmän (Z, +) aliryhmä.

Selvästi joukko mZ on epätyhjä. Oletetaan, että a,b  (- mZ. Koska ryhmän binäärioperaatio on yhteenlasku, on käänteisalkion b-1 tilalla nyt vasta-alkio -b. Merkintää a * b-1 vastaa siis a + (-b) = a - b. Nyt joillekin kokonaisluvuille k1 ja k2 on a = mk1 ja b = mk2, joten -b = m(-k2). Täten a - b = mk1 + m(-k2) = m(k1 - k2)  (- mZ, koska k1 - k2  (- Z. Siis (mZ, +) < (Z, +).

Esimerkki. Säännöllisten (nn)-matriisien joukko GLn(R) = {A  (- Mnn(R) | det(A)/=0} on ryhmä matriisien kertolaskun suhteen. Näytetään, että joukon GLn(R) osajoukko

SLn(R)  = {A   (-  GLn(R) |det(A)  = 1}

muodostaa aliryhmän. SLn(R)/=, koska identiteettimatriisi In  (- SLn(R). Olkoon A,B  (- SLn(R). Silloin AB-1  (- SL n(R), koska det(AB-1) = det(A) det(B-1) = det(A) det(B)-1 = 1 . 1-1 = 1.

Esimerkki. Olkoon (G,*) mikä tahansa ryhmä ja merkitään

Z(G)  = {z  (-  G |z * x = x * z  A  x  (-  G}.

Osoitetaan, että (Z(G),*) on ryhmän (G,*) aliryhmä. Aliryhmää (Z(G),*) kutsutaan ryhmän (G, *) keskukseksi.

Olkoon e ryhmän (G,*) neutraalialkio. Koska e * a = a = a * e kaikilla a  (- G, on joukko Z(G) epätyhjä. Oletetaan, että a,b  (- Z(G). Osoitetaan ensin, että b-1  (- Z(G). Koska b  (- Z(G), on kaikilla x  (- G, b * x = x * b. Operoimalla tätä yhtälöä molemmin puolin vasemmalta alkiolla b-1 ja käyttämällä assosiatiivisuutta nähdään, että x = e * x = (b-1 * b) * x = b-1 * (b * x) = b-1 * (x * b). Operoimalla näin saatua yhtälöä vastaavasti oikealta puolelta saadaan x * b-1 = (b-1 * x) * (b * b-1) = b-1 * x.

Koska a, b-1  (- Z(G), saadaan käyttämällä assosiatiivisuutta, että (a * b-1 ) * x = a * (b-1 * x) = a * (x * b-1) = (a * x) * b-1 = (x * a) * b-1 = x * (a * b-1). Täten a * b-1  (- Z(G).


Linkit:
Aliryhmä
Esimerkkejä ryhmistä
Esimerkkejä ryhmistä 2
Yksinkertaisia matriiseja
Matriisitulon determinantti
Säännöllinen matriisi