Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
RYHMÄ
 

Ryhmän generointi

Olkoon (G,*) ryhmä ja S joukon G jokin osajoukko. Tarkastellaan ryhmän (G,*) sellaisten aliryhmien (H,*) parvea, joissa S  (_ H. Tämä parvi on epätyhjä, koska ainakin ryhmä (G,*) kuuluu siihen. Kuten sivun Huomioita aliryhmästä toisessa lauseessa todettiin on parven aliryhmien (H,*) leikkaus myös aliryhmä. Tätä leikkausta kutsutaan joukon S generoimaksi ryhmän (G,*) aliryhmäksi ja sitä merkitään symbolilla (< S >,*), missä siis

              /~\ 
<  S > =           H.                                (1)
            S (_ H
          (H,*)<(G,*)

Joukon S alkioita sanotaan ryhmän (< S >,*) generaattoreiksi. Jos generaattoreita on äärellisen monta, toisin sanoen S = {a1,...,ak}, sanotaan, että ryhmä (< S >,*) on äärellisesti generoitu, ja käytetään merkintää

<  S > = <  a1,...,ak > .

Määritelmän mukaan ryhmä (< S >,*) on pienin ryhmän (G,*) aliryhmä, jonka alkiojoukkoon S kuuluu. Tässä pienuus on ymmärrettävä sisältyvyytenä, tämä pienin joukko sisältyy kaikkiin muihin sellaisiin mahdollisiin joukkoihin, joissa S on osajoukkona ja jotka muodostavat ryhmän (G,*) aliryhmän.

Olkoon e neutraalialkio. Esimerkkinä huomaamme, että < > = {e}, < e > = {e} ja jos (H,*) < (G,*), niin < H > = H.

Lause. Olkoon (G,*) ryhmä ja S  (_ G. Silloin

<S>=  {a1 * a2 * ...* am | m > 1, ai  (-  S tai a-i1 (-  S, kaikilla 1 < i < m}

tai jos S = , niin < S >= {e}, missä e on ryhmän G neutraalialkio.

Todistus. Jos S = , tiedetään väite todeksi. Olkoon S/= ja merkitään

                                      -1
U={a1 *a2 * ...*am  |m  > 1, ai  (-  S tai ai  (-  S, kaikilla 1 < i < m}.

Valitsemalla tulossa a1 * a2 * ... * am luvuksi m = 1 nähdään, että S  (_ U. Aliryhmäkriteeriä käyttämällä nähdään, että (U,*) < (G,*). Nimittäin, jos a1 *a2 *...*am  (- U ja a1'*a2'*...*an' (- U, niin (a1 * a2 * ...*am) * (a1'*a2'*...*an')-1 = a 1 *a2 *...*am * (an')-1 *...* (a 2')-1 * (a 1')-1  (- U. Täten <  S  >  (_ U.

Toisaalta jokainen joukko H, joka esiintyy leikkauksessa (1), sisältää kaikki joukon U alkiot. Täten U  (_ <  S  > . Siis <  S  > = U. []

Jos ryhmä (G,*) on äärellinen, edellisen lauseen kaava saa yksinkertaisemman muodon äärellisiä ryhmiä koskevan aliryhmäkriteerin muunnelman perusteella:

<  S >=  {a1 *a2 *...* am  |m >  0, ai  (-  S  A  i}.

Esimerkki. Ääretön ryhmä (Z, +) on äärellisesti generoitu, sillä

Z = {1 + 1 + ...+  1 = n .1 |n  (-  Z}= < 1 > .


Linkit:
Aliryhmä
Huomioita aliryhmästä