Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
RYHMÄ
 

Ryhmien homomorfia

Määritelmä. Olkoot (G,*) ja (G',) ryhmiä. Kuvausta f : (G,*) --> (G',) sanotaan (ryhmä)homomorfismiksi, jos se toteuttaa ehdon

f(a * b) = f(a) • f(b)  A a, b  (-  G.

Olkoon e ryhmän (G,*) neutraalialkio ja e' ryhmän (G,) neutraalialkio. Ryhmähomomorfismi kuvaa neutraalialkion neutraalialkioksi ja käänteisalkiot käänteisalkioiksi. Siis, jos f on homomorfismi ja a  (- G, niin

        '         -1        -1
f(e) = e ,    f (a  ) = f(a)  .

Ensimmäinen yhtälöistä nähdään oikeaksi operoimalla yhtälöä f(e) f(e) = f(e * e) molemmin puolin käänteisalkiolla f(e)-1. Jälkimmäinen seuraa puolestaan siitä, että f(a) f(a-1) = f(a * a-1) = f(e) = e' ja samoin f(a-1) f(a) = e'.

Lause. Olkoon f : (G,*) --> (G',) homomorfismi. Jos (H,*) < (G,*), niin (f(H),) < (G',).

Todistus. Koska (H,*) on ryhmä, niin H on epätyhjä joukko. Täten myös f(H) on epätyhjä. Olkoon a',b' (- f(H). Silloin joillekin a,b  (- H on a' = f(a) ja b' = f(b). Nyt

  '   ' -1             -1          -1
a  • (b ) =  f(a) • f (b)  = f (a * b )  (-  f(H),

joten väite seuraa aliryhmäkriteeristä. []


Linkit:
Aliryhmä
Homomorfismin ydin ja kuva
Huomioita ryhmähomomorfismista
Esimerkkejä ryhmähomomorfismeista