Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
RYHMÄ
 

Esimerkkejä ryhmähomomorfismeista

Esimerkki. Positiiviset reaaliluvut muodostavat kertolaskun suhteen ryhmän (R+, . ). Samoin kaikki reaaliluvut muodostavat yhteenlaskun suhteen ryhmän (R, +). Olkoon f kuvaus ryhmältä (R+, . ) ryhmälle (R, +), missä f(x) = log x kaikilla x  (- R +. Logaritmin määritelmän perusteella f(xy) = log(xy) = log x + log y = f(x) + f(y). Täten kuvaus f on homomorfismi. Tarkastamalla bijektiivisyys huomataan, että kuvaus on isomorfismi.

Esimerkki. Olkoon f : (Z, +) --> (Zm, +), missä ryhmän (Zm, +) yhteenlasku on jäännösluokkien yhteenlasku ja missä f(a) = --
a kaikilla a  (- Z. Kuvaus f on homomorfismi, koska kaikilla x,y  (- Z on f(x + y) = x-+-y- = x- + y- = f(x) + f(y).

Esimerkki. Näytetään, etteivät ryhmät (R, +) ja (R*, . ), missä R* = R \{0}, ole isomorfisia. Pitää siis osoittaa, ettei ole olemassa mitään isomorfista kuvausta toiselta ryhmältä toiselle.

Ryhmän (R*, . ) neutraalialkio on 1. Tässä ryhmässä on kaksi alkiota x = 1 ja x = -1, jotka toteuttavat yhtälön x2 = 1. Jos olisi jokin isomorfismi f ryhmältä (R*, . ) ryhmälle (R, +) niin f(1) = f(1 . 1) = f(-1 . (-1)) = f(1) + f(1) = f(-1) + f(-1). Toisaalta ryhmän (R, +) neutraalialkio on 0 ja homomorfismi kuvaa neutraalialkion neutraalialkioksi, joten f(1) = 0. Jotta f voisi olla isomorfismi pitäisi ryhmässä (R, +) olla kaksi eri ratkaisua yhtälölle x + x = 0, ratkaisuja on kuitenkin vain yksi x = 0. Täten (R, +) / -~ (R*, . ).

Esimerkki. Olkoon (G,*) ryhmä ja u  (- G. Osoitetaan, että kuvaus

                                         -1
fu : (G, *) --> (G, *),    fu(a) = u * a *u     A a  (-  G,

on isomorfismi.

Osoitetaan ensin, että kuvaus fu on homomorfismi. Tämä tehdään suoraan laskemalla. Kaikilla a,b  (- G :

fu(a* b) = u *(a * b) * u-1 = u * a * u-1 *u * b * u- 1 = fu(a) * fu(b).

Kuvauksen bijektiivisyyden toteamiseksi osoitetaan, että kuvauksella fu on käänteiskuvaus. Näytetään, että kuvauksen fu käänteiskuvaus on f-1
u, jolle f-1
u(a) = u-1 * a * u kaikille a  (- G :

(fuof-u 1)(a) = fu(fu-1(a)) = fu(u-1 *a * u) = u * u- 1 * a * u *u -1 = a

ja samoin voidaan osoittaa, että (f-1
uofu)(a) = a. Koska molemmat yhdistetyt kuvaukset fu o f-1
u ja f-1
uofu tuottavat identiteettikuvauksen on f-1
u kuvauksen fu käänteiskuvaus. Täten fu on bijektio.

Isomorfista kuvausta ryhmältä itselleen sanotaan automorfismiksi. Esimerkin kuvaus on siis automorfismi.


Linkit:
Ryhmien homomorfia
Huomioita ryhmähomomorfismista