Normaali aliryhmä

Annettua ryhmää (G,*) tutkittaessa on usein hyödyllistä käyttää apuna ryhmiä, jotka ovat yksinkertaisempia, esimerkiksi kertaluvultaan pienempiä. Tähän tarkoitukseen tarvitaan normaalin aliryhmän ja tekijäryhmän käsitteet.

Määritelmä. Ryhmän (G,*) aliryhmää (N,*) sanotaan normaaliksi, jos sen vasemmat ja oikeat sivuluokat yhtyvät, eli jos

Tällöin voidaan merkitä (N,*) (G,*) tai jos kyseessä on aito normaali aliryhmä voidaan merkitä (N,*) (G,*).

Jos (G,*) on Abelin ryhmä sen jokainen aliryhmä on normaali. Yleisessä tapauksessa määritelmän yhtälöstä a * N = N * a seuraa, että

(1)

Lause. [Aliryhmän normaalisuuskriteeri] Olkoon (N,*) < (G,*). Silloin (N,*) on normaali jos ja vain jos

Todistus. Oletetaan ensin, että (N,*) (G,*). Silloin ehdon (1) perusteella a*n*a^-1 = n ₁ N kaikilla a G ja n N.

Oletetaan toiseksi, että a * n * a^-1 N kaikilla a G ja n N. Pitää osoittaa, että a * N = N * a. Valitaan n N ja merkitään a * n * a^-1 = n ₁. Oletuksen mukaan n₁ N. Operoimalla saatua yhtälöä oikealta alkiolla a saadaan a * n = n₁ * a. Tämän oikea puoli on sivuluokan N * a alkio. Täten a * N N * a.

Koska oletus pätee kaikille joukkojen G ja N alkioille saadaan a^-1 * n * a = n ₂, missä n₂ N. Operoimalla tätä yhtälöä vasemmalta alkiolla a saadaan n * a = a * n₂. Tässä oikea puoli kuuluu sivuluokkaan a * N. Täten N * a a * N.

Yhdistämällä saadut tulokset saadaan väite a * N = N * a.

Edellisen lauseen kriteerin voi myös muotoilla seuraavasti:

Linkit:
Aliryhmä
Vasemmat sivuluokat