Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
RYHMÄ
 

Esimerkkejä normaaleista aliryhmistä ja tekijäryhmistä

Esimerkki. Säännöllisten (nn)-matriisien joukko GLn(R) = {A  (- Mnn(R) | det(A)/=0} on ryhmä matriisien kertolaskun suhteen. Joukon GLn(R) osajoukko SLn(R) = {A  (- GLn(R) | det(A) = 1} muodostaa tämän aliryhmän. Näytetään, että tämä aliryhmä on normaali.

Kaikilla A  (- GLn(R) ja B  (- SLn(R) on

 -1                        - 1                 -1
det(ABA  ) = det(A) det(B) det(A  ) = det(A) det(A)   det(B)  = det(B) =  1,

joten ABA-1  (- SL n(R). Aliryhmien normaalisuuskriteerin mukaan SLn(R) on normaali aliryhmä matriisien kertolaskun suhteen.

Esimerkki. Merkitään R* = R \{0} ja H = < -1 > = {1}. Silloin (H, . ) on ryhmän (R*, . ) aliryhmä. Koska (R*, . ) on Abelin ryhmä, on (H, . ) normaali. Ryhmän (R*, . ) tekijäryhmä aliryhmän (H, . ) suhteen on

R*/H  =  {aH  |a  (-  R*}=  {aH  |a  (-  R, a > 0}

varustettuna binäärioperaatiolla aH . bH = abH kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla a ja b.

Esimerkki. Abelin ryhmän (Z, +) normaali aliryhmä on (< m >, +) = (Zm, +), kun m > 1. Ryhmän (Z, +) tekijäryhmän tämän aliryhmän suhteen muodostaa

Z/mZ   =  {k + mZ  |k  (-  Z}=  {k + mZ  |k =  0,1,...,m -  1},

kun binäärioperaationa on (k + mZ) + (h + mZ) = (k + h) + mZ. Toisin merkittynä:

Z/mZ  =  {0,1,...,m----1}

ja binäärioperaationa on --
k + --
h = ------
k + h. Siis (Z/mZ, +) on jäännösluokkaryhmä modulo m eli Z/mZ = Zm .


Linkit:
Normaali aliryhmä
Tekijäryhmä
Esimerkkejä aliryhmistä
Säännöllinen matriisi