Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
RYHMÄ
 

Esimerkkejä ryhmien homomorfialauseen käytöstä

Esimerkki. Palautetaan mieleen joukko Zm = {0-,1-,...,m----1}. Kuvaus

                                 --
f : (Z,+) --> (Zm, +),     f (a) = a   A  a  (-  Z

on homomorfismi, koska f(a + b) = -----
a + b = a- + -
b = f(a) + f(b) kaikilla a,b  (- Z. Ryhmän (Zm, +) neutraalialkio on --
0. Täten ker(f) = {a  (- Z |--
a = --
0} = {a  (- Z | m | a} = mZ. Koska Im(f) = Zm, on homomorfialauseen nojalla

(Z/mZ,   +)  -~  (Zm, +).

Kuten sivulla Esimerkkejä normaaleista aliryhmistä ja tekijäryhmistä on nyt luontevaa, että tekijäryhmän Z/mZ operaatio on +. Tämän isomorfismin antaa kuvaus F(a + mZ) = f(a) = --
a kaikilla a  (- Zm.

Seuraavissa esimerkeissä tekijäryhmän operaatio  .  määritellään kuten sivun Tekijäryhmä lauseessa.

Esimerkki. Merkitään R* = R \{0} ja R + = {x  (- R | x > 0}. Kuvaus f : (R*, . ) --> (R +, . ), missä f(x) = |x| kaikilla x  (- R*, on homomorfismi, sillä f(xy) = |xy| = |x||y| = f(x)f(y). Koska ryhmän (R+, . ) neutraalialkio on 1, on kuvauksen ydin ker(f) = {x  (- R* ||x| = 1} = {1}. Selvästi Im (f) = R+. Täten homomorfialauseen nojalla kuvaus f indusoi isomorfismin

F : (R*/{ 1}, .) -->  (R+, .),    F (a .{ 1}) = a   A  a  (-  R+.

Huomaa, että a . {1} = {a} kaikilla a  (- R*.

Esimerkki. Kuvaus (vertaa sivuun Esimerkkejä aliryhmistä)

f : (GLn(R), .)-- >  (R*, .),     f(A) =  det(A)   A  A  (-  GLn(R)

on homomorfismi, sillä f(AB) = det(AB) = det(A) det(B) = f(A) . f(B) kaikilla A, B  (- GLn (R).

Ryhmän (R* ,  . ) neutraalialkio on 1, joten

ker(f) = {A  (-  GLn(R)  |det(A) =  1}=  SLn(R).

Koska Im (f) = R* saadaan homomorfialauseen mukaan

(GLn(R)/SLn(R),   .) - ~  (R*, .).

Esimerkki. Olkoon e ryhmän (G,*) neutraalialkio. Triviaali homomorfismi f : (G,*) --> (G,*), missä f(a) = e kaikilla a  (- G, indusoi isomorfian

(G/G,  .)  -~  ({e},*).

Identtinen kuvaus id:(G,*) --> (G,*), missä id(a) = a kaikilla a  (- G, on homomorfismi ja se indusoi isomorfian

(G/{e}, .) - ~  (G,*).


Linkit:
Esimerkkejä normaaleista aliryhmistä ja tekijäryhmistä
Tekijäryhmä
Ryhmien homomorfialause
Esimerkkejä aliryhmistä