Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
RENGAS
 

Esimerkkejä alirenkaista

Esimerkki. Lukujoukot

   V~ --          V~ --
Z[  n] = {a + b  n |a,b  (-  Z}    (n = - 1, 2, 3,...)

muodostavat kompleksilukujen renkaan (C, +, . ) alirenkaita yhteenlaskun ja tulon suhteen. Nimittäin selvästi Z[ V~ --
  n]  (_ C ja renkaan (C, +, .  ) ykkösalkio 1 = 1 + 0 .  V~ --
  n  (- Z[ V~ --
  n]. Jos ai + bi V~ 
n  (- Z[ V~ --
  n] (i = 1, 2), niin

        V~ --            V~ --                      V~ --     V~ --
(a1 + b1  n) - (a2 + b2  n) = a1-  a2 + (b1 - b2) n  (-  Z[ n],

koska a1 - a2  (- Z ja b1 - b2  (- Z. Vastaavasti

    V~ --          V~ --                  V~ --       V~ --      V~ -V ~ --
(a1+b1  n) .(a2 + b2 n)  =   a1a2 + a1b2  n + a2b1  n + b1b2  n   n
                                                      V~ --     V~ --
                      =   a1a2 + b1b2n +  (a1b2 + a2b1)  n  (-  Z[ n],
koska a1a2 + b1b2n  (- Z ja a1b2 + a2b1  (- Z. Alirengaskriteerin nojalla (Z[ V~ --
  n], +, .  ) on alirengas.

Erikoistapauksessa n = -1 on kyseessä Gaussin kokonaisluvut.

Renkaita (Z[ V~ -
 n], +, .  ) tarkasteltaessa oletetaan tavallisesti, että luku n on neliövapaa, toisin sanoen n ei ole jaollinen minkään ykköstä suuremman kokonaisluvun neliöllä. Silloin Z[ V~ n1]/=Z[ V~ n2] aina, kun n1/=n2.

Esimerkki. (POLYNOMIRENKAAT) Kaikkien reaalikertoimisten polynomien joukko

R[x] = {a0 + a1x + ...+  anxn |n >  0,ak  (-  R, k = 0,1,...,n}

on rengas polynomien yhteen- ja kertolaskun suhteen. Tämä nähdään osoittamalla, että (R[x], +,  .   ) on funktiorenkaan (C(R), +, . ) (katso sivu Esimerkkejä renkaista) alirengas.

Selvästi R[x]  (_ C(R) ja funktiorenkaan ykkösalkio 1  (- R[x]. Suoraan laskemalla nähdään, että myös alirengaskriteerin ehdot (ii) ja (iii) toteutuvat.

Muita polynomirenkaita ovat esimerkiksi (Z[x], +, . ) ja (Q[x], +, . ), joista ensimmäisen alkiot ovat kaikki kokonaislukukertoimiset polynomit ja toisen alkiot ovat kaikki rationaalilukukertoimiset polynomit.


Linkit:
Alirengas
Esimerkkejä renkaista