Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
RENGAS
 

Ihanne

Ryhmäteoriassa normaaleilla aliryhmillä on erityisasema. Rengasteoriassa normaaleja aliryhmiä vastaavat ihanteet.

Määritelmä. Olkoon (R, +, . ) rengas. Joukkoa I  (_ R sanotaan renkaan R ihanteeksi tai ideaaliksi, jos

     (I1)   (I, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä ja
     (I2)   ra  (- I ja ar  (- I kaikilla r  (- R ja a  (- I.

(Jos ehdosta (I2) jätetään pois ehto ar  (- I, saadaan yleisempi vasemman ihanteen käsite. Vastaavasti oikea ihanne saadaan jättämällä ehdosta (I2) pois ehto ra  (- I.)

Jokaisen renkaan (R, +, . ) triviaalit ihanteet ovat rengas itse ja nollaihanne {0 R}.

Jos renkaan (R, +, . ) ihanne I muodostaa alirenkaan operaatioiden + ja  .  suhteen, niin alirengaskriteerin nojalla 1R  (- I. Tästä seuraa ehdon (I2) nojalla, että r = r . 1 R  (- I kaikilla r  (- R. Täten rengas itse on sen ainoa ihanne, joka on myös (ali)rengas.

Edellisen päättelyn nojalla saadaan seuraava tulos: Jos I on renkaan R aito ihanne (siis I < R), niin I /~\ R* = (R* on renkaan yksiköiden joukko). Nimittäin, jos renkaan yksikkö u  (- I, niin ehdon (I2) nojalla u . u-1 = 1 R  (- I, ja silloin olisi I = R.

Lause. (Ihannekriteeri) Olkoon (R, +, . ) rengas ja I  (_ R. Joukko I on renkaan R ihanne jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat:

     (a)   I on epätyhjä joukko,
     (b)   a - b  (- I kaikilla a,b  (- I ja
     (c)   ra  (- I ja ar  (- I kaikilla r  (- R ja a  (- I.

Todistus. Ehdot (a) ja (b) ovat yhdessä ekvivalentit ehdon (I1) kanssa. Ehto (c) on sama kuin ehto (I2). []

Lause. Jos joukot I ja J ovat renkaan (R, +, . ) ihanteita, niin samoin on niiden leikkaus I  /~\ J ja summa

I + J =  {a + b| a  (-  I, b  (-  J }.

Sama on voimassa useammankin kuin kahden ihanteen tapauksessa (leikkauksen suhteen jopa äärettömän monen ihanteen leikkaus on ihanne).

Todistus. Todistetaan summaa koskeva väite. Leikkausta koskeva väite voidaan todistaa samantapaisella päättelyllä. Koska I ja J ovat ihanteina epätyhjiä joukkoja, on niiden summakin epätyhjä.

Olkoot a1 , a2  (- I, b1,b2  (- J ja ci = ai + bi  (- I + J (i = 1, 2). Käyttäen hyväksi sivulla Renkaan aritmetiikkaa esiteltyjä laskulakeja ja ryhmän (R, +) kommutatiivisuutta saadaan: c1 - c2 = a1 + b1 - (a2 + b2) = a1 + b1 - a2 - b2 = a1 - a2 + b1 - b2  (- I + J. Kaikilla r  (- R on rc1 = r(a1 + b1) = ra1 + rb1  (- I + J. Väite seuraa ihannekriteeristä. []


Linkit:
Aliryhmä
Normaali aliryhmä
Alirengas
Renkaan aritmetiikkaa
Rengas