Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
RENGAS
 

Rengashomomorfismin ydin ja kuva

Rengashomomorfismin f : (R, +, . ) --> (R', +', . ') ydin on

ker(f ) = {a  (-  R |f (a) = 0R'}.

Rengashomomorfismin f : (R, +, . ) --> (R', +', . ') kuva on

Im  (f) = {f(a) |a  (-  R}=  f(R).

Koska (R, +, . ) on itsensä triviaali alirengas, saadaan sivun Renkaiden homomorfia lauseen kohdan (i) perusteella, että (Im (f), +', . ') on renkaan (R', +', . ') alirengas.

Lause. Rengashomomorfismin f : (R, +, . ) --> (R', +', . ') ydin ker(f) on renkaan (R, +, . ) ihanne.

Todistus. Todistetaan väite käyttäen ihannekriteeriä. Koska f(0R) = 0R', niin 0R  (- ker(f) ja täten ker(f) on epätyhjä joukko.

Jos a,b  (- ker(f), niin

f(a - b) = f(a) -'f (b) = 0R' - '0R'=  0R'.

Täten a - b  (- ker(f). Kaikilla r  (- R ja a  (- ker(f) saadaan käyttäen hyväksi sivun Renkaan aritmetiikkaa lausetta:

f(r .a) = f(r) .'f(a) = f (r) .'0R'= 0R'.

Täten r . a  (- ker(f). Vastaavasti nähdään, että a . r  (- ker(f). []

Jos rengashomomorfismia f : (R, +, . ) --> (R', +', . ') ajatellaan vain ryhmähomomorfismina f : (R, +) --> (R', +'), niin kuvauksen ydin ja kuva eivät muutu, vaan ovat edelleen edellä määritellyt joukot. Täten sivun Ryhmähomomorfismin ydin ja kuva toisen lauseen nojalla rengashomomorfismi f : (R, +, . ) --> (R', +', . ') on injektio jos ja vain jos ker(f) = {0R }.

Määritelmä. Rengashomomorfismia f : (R, +, . ) --> (R', +', . ') sanotaan (rengas)isomorfismiksi, jos kuvaus f on bijektiivinen. Jos on olemassa jokin isomorfismi f : (R, +,  .   ) --> (R', +', . '), rengasta (R, +, . ) sanotaan isomorfiseksi renkaan (R', +', . ') kanssa. Tällöin voidaan merkitä (R, +, . )  -~ (R', +', . ').

Erilaisista homomorfismeista käytetään myös muita nimityksiä:
monomorfismi = injektiivinen homomorfismi,
epimorfismi = surjektiivinen homomorfismi,
endomorfismi = homomorfismi systeemiltä itseensä,
automorfismi = isomorfismi systeemiltä itselleen.


Linkit:
Renkaiden homomorfia
Renkaan aritmetiikkaa
Ryhmähomomorfismin ydin ja kuva