smr263.html

Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003

KUNTA

Esimerkkejä kunnista 2

Esimerkki. Ratkaistaan kunnassa (K, +,^.) toisen asteen yhtälö x² + ax + b = 0, missä a,b K, olettaen, että char(K)2.

Koska char(K)2 on luvulla 2 kunnassa K käänteisalkio 1
2 . Täten myös luvulla 4 on käänteisalkio nimittäin ( 1
2 )². Nyt x² + ax + b = x² + ax + a2-
4 - a2
4 + b = (x + a
2 )² - ( a2
4 - b). Täten yhtälöllä x² + ax + b = 0 on ratkaisu kunnassa K, jos ja vain jos on olemassa sellainen kunnan K alkio y, että y² = 2
a4- - b. Oletetaan, että tällainen alkio y on olemassa. Silloin

2 a-2 2 a- a- x+ax + b = 0 <==> (x + 2) - y = 0 <==> ((x + 2 )- y)((x + 2) + y)) = 0.

Koska kunta on kokonaisalue, tämä tarkoittaa, että joko

a a x + --+ y = 0 tai x + --- y = 0. 2 2

Ratkaisuksi saadaan

a- 2 a2- x = - 2 ± y, missä y (- K toteuttaa y = 4 - b.

Esimerkki. Olkoon (K, +,^.) kunta, jonka karakteristika on alkuluku p. Osoitetaan, että kuvaus

p fp : (K, +,.)-- > (K, +, .), fp(x) = x

on kuntahomomorfismi.

Olkoot a, b K. Silloin käyttäen sivun Esimerkkejä nollanjakajista ja kokonaisalueista viimeistä esimerkkiä saadaan, että f_p(a + b) = (a + b)^p = a^p + b^p = f_p(a) + f_p(b). Tulon kommutatiivisuudesta johtuen on f_p(ab) = (ab)^p = a^pb^p = f_p(a)f_p(b). Lisäksi f_p (1_K ) = (1_K )^p = 1_K. Täten kuvaus on rengashomomorfismi, siis myös kuntahomomorfismi.

Sivun Huomioita kunnasta viimeisen lauseen mukaan kuvaus f_p on injektio, toisin sanoen Im(f) = {x^p | x K} muodostaa kunnan K kanssa isomorfisen kunnan. Oletuksen char(K) = p nojalla K on äärellinen kunta, tällöin joukko Im (f) sisältää yhtä monta alkiota kuin joukko K ja on siis sama joukon K kanssa. Siis f_p on kunnan K automorfismi.

Linkit:
Esimerkkejä kunnista
Esimerkkejä nollanjakajista ja kokonaisalueista