Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
KUNTA
 

Huomioita alikunnasta

Millaisia alikuntia kunnalla (K, +, . ) voi olla? Jokainen alikunta sisältää kunnan K ykkösalkion 1K. Täten alikunnat sisältävät myös kaikki ykkösalkion monikerrat n1K, missä n  (- Z. Tämä johtaa seuraavaan havaintoon.

Lemma. Jokaisella kunnalla (K, +, . ) on alirenkaana kokonaisalue (D, +, . ), missä

                      {
                        Zp,   jos char(K) = p,
D =  {n1K | n  (-  Z}~ -   Z,    jos char(K) = 0.

Todistus. Muodostetaan kuvaus

f : (Z,+, .)-- > (K, +, .),     f(n) = n1K    A  n  (-  Z.

Osoitetaan ensin, että kuvaus f on rengashomomorfismi. Kaikilla a,b  (- Z on sivun Renkaiden aritmetiikkaa huomioiden perusteella f(a + b) = (a + b)1K = a1K + b1K = f(a) + f(b). Lisäksi f(a . b) = (a . b)1 K = a . b1 K = a1K . b1 K = f(a) . f(b). Sivun Rengashomomorfismin ydin ja kuva perusteella (Im (f), +, . ) on kunnan (K, +, . ) alirengas (ja silloin välttämättä myös kokonaisalue).

Renkaiden homomorfialauseen perusteella Z/ ker(f)  -~ Im (f)  (_ K. Tässä Im (f) = {n1K | n  (- Z} ja

                                {
ker(f) = {n  (-  Z |n1   = 0  }=     pZ,   jos char(K) =  p,
                     K    K        {0},  jos char(K) =  0.

Nyt siis D = Im (f)  -~ Z/ ker(f), ja lemman isomorfiat seuraavat, kun huomataan, että Z/pZ = Zp ja Z/{0} = Z. Sivun Esimerkkejä nollanjakajista ja kokonaisalueista mukaan (Zp, +, . ) ja (Z, +, . ) ovat kokonaisalueita. []

Lause. Olkoon kokonaisalue (D, +, . ) kunnan (K, +, . ) alirengas. Määritellään joukko

        a
KD  =  {--|a, b  (-  D, b /= 0D}.
        b

Kolmikko (KD, +, . ) on kunnan (K, +, . ) alikunta. Lisäksi (K D, +, . ) on kaikkien kunnan K alikuntien (F, +, . ), joilla D  (_ F, alikunta.

Todistus. Todistetaan ensimmäinen väite käyttäen alikuntakriteeriä. Koska D  (_ KD ja (D, +,  .   ) on rengas, niin {1 D, 0D} (_ KD. Olkoot a
b,c
d  (- KD. Silloin a
b -c
d = ad--bc-
 bd  (- KD, koska ad - bc, bd  (- D. Jos c
d/=0D, toisin sanoen c/=0D, niin a
b/c
d = ad
 bc  (- KD.

Lauseen jälkimmäinen väite on ilmeinen, koska jokainen kunta (F, +, . ), jolle D  (_ F, sisältää alkioiden a, b  (- D mukana osamäärän a
b, kun b/=0D. []

Jos (K, +,  .   ) on lukukunta, sen alirengas on kokonaisalue (Z, +, . ) (lemman mukaan), ja edellisessä lauseessa esiintyvä joukko KZ = Q.


Linkit:
Alikunta
Renkaan aritmetiikkaa
Rengashomomorfismin ydin ja kuva
Renkaiden homomorfialause
Esimerkkejä nollanjakajista ja kokonaisalueista