Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
KUNTA
 

Kokonaisalueen osamääräkunnan konstruktio

Olkoon (R, +, . ) rengas. Voidaanko (R, +, . ) jotenkin laajentaa kunnaksi? Laajennus on selvästi mahdoton, jos rengas R ei ole kommutatiivinen tai joukossa R on nollanjakajia. Jos (R, +, . ) on kokonaisalue, voidaan R laajentaa kunnaksi konstruoimalla niin sanottu kokonaisalueen R osamääräkunta Q(R), jossa R on alirenkaana. Konstruktiossa liitetään joukkoon R sen nollasta eroavien alkioiden b käänteisalkiot 1b ja lisäksi tulot a . 1b = ab kaikilla a  (- R.

Esitetään konstruktio vielä yksityiskohtaisesti. Se, että konstruktio tuottaa kunnan, todistetaan sivulla Kokonaisalueen osamääräkunta.

Olkoon (D, +, . ) kokonaisalue. Muodostetaan joukko

X  = {(a,b) |a,b  (-  D, b /= 0}

ja määritellään tässä joukossa relaatio ~ seuraavasti:

(a,b) ~ (c,d)   <==>    ad = bc.

Relaatio ~ todetaan ekvivalenssirelaatioksi tarkistamalla ekvivalenssirelaation ehdot E1-E3. Oletetaan, että (a,b), (c,d), (e,f)  (- X. Selvästi ~ on refleksiivinen: (a,b) ~ (a,b). Relaation ~ symmetrisyys seuraa siitä, että kokonaisalue D on kommutatiivinen. Lisäksi ~ on transitiivinen, sillä jos (a,b) ~ (c,d) ja (c,d) ~ (e,f), niin ad = bc ja cf = de. Koska b/=0, saadaan c = ad
b-. Sijoittamalla tämä jälkimmäiseen yhtälöön ja laventamalla alkiolla b ja supistamalla alkiolla d saadaan af = be eli (a,b) ~ (e,f).

Joukko X voidaan partitioida ekvivalenssiluokkiin [(a,b)]. Näitä luokkia sanotaan formaalisiksi osamääriksi ja niistä käytetään merkintää a
b. Siis

a=  {(x,y) |(x,y) ~ (a,b)}=  {(x, y)| x,y  (-  D, y /= 0, xb = ya}.
b

Erityisesti a
b = c
d jos ja vain jos ad = bc. Kaikkien formaalisten osamäärien joukosta käytetään merkintää Q(D). Siis

Q(D)  = {a--|a,b  (-  D, b /= 0}.
          b

Määritellään joukossa Q(D) yhteen- ja kertolasku. Jos ab,cd  (- Q(D), niin

a-   c-  ad-+-bc-     a- c-   ac-
b +  d =    bd  ,     b .d =  bd.

Pitää osoittaa, että operaatiot ovat hyvinmääriteltyjä, toisin sanoen operaatioiden tulos pysyy joukossa Q(D) ja operaatiot ovat riippumattomia ekvivalenssiluokan edustajan valinnasta. Ensinnäkin, koska b/=0D, d/=0D ja D on kokonaisalue, niin bd/=0D. Oletetaan sitten, että a
b= a''
b ja c
d = c''
d. Silloin ab' = ba' ja cd' = dc'. Käyttäen kokonaisalueen kommutatiivisuutta ja distributiivilakia saadaan

ac(ad + cb)b'd'   adb'd'+ cbb'd'   ba'dd'+  dc'bb'   bd(a'd'+  b'c')   a'   c'
+=----------=  --------------=  --------------=  --------------= -- + --.
bd bdb'd'           bdb'd'           bdb'd'            bdb'd'       b'   d'

Kertolasku voidaan käsitellä samoin.


Linkit:
Kokonaisalue
Kokonaisalueen osamääräkunta
Alirengas
Ekvivalenssirelaatio
Ekvivalenssiluokka