Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003 		POLYNOMIRENKAAT
 

Polynomirenkaan jäännösluokkarenkaasta

Olkoon (K, +, . ) kunta ja p(x) polynomirenkaan (K[x], +, . ) jaoton polynomi. Jäänösluokkarengas (K[x]/ < p(x) >, +, . ) on kunta kuten todettiin sivulla Jaottomat polynomit ja kunnat. Millainen kunta K[x]/ < p(x) > on?

Merkitään I =< p(x) > ja d = deg p(x). Kuten kaikki jäännösluokkarenkaat voidaan K[x]/I esittää muodossa

K[x]/I = {k(x) + I |k(x) (- K[x]}= {k(x) + I |k(x) (- D},

missä D on jokin jäännösluokkien edustajisto. Polynomit k1(x) ja k2(x) kuuluvat samaan jäännösluokkaan jos ja vain jos k1(x) - k2(x) on jaollinen polynomilla p(x). Jakoalgoritmin perusteella tästä seuraa, että jäännösluokkien edustajistoksi D voidaan valita

D = {r(x) (- K[x] |deg r(x) < d}.

Täten

K[x]/I = {r(x) + I| r(x) (- K[x], deg r(x) < d} = {a0 + a1x + ...+ ad-1xd- 1 + I |ai (- K, i = 1,..., d- 1}

Jos r1(x) + I ja r2(x) + I ovat kaksi jäännösluokkaa, niin

(r1(x) + I) + (r2(x) + I) = r1(x) + r2(x) + I, (r1(x) + I) .(r2(x) + I) = (r1(x)r2(x)) + I.
Tulopolynomi r1(x)r2(x) palautetaan muotoon a0 + a1x + ... + ad-1xd-1 vähentämällä siitä sopiva polynomin p(x) monikerta.

Linkit:
Jaottomat polynomit ja kunnat
Jäännösluokkarengas
Polynomien jakoalgoritmi