Paitsi yksittäisiä yhtälöitä voidaan tarkastella myös differentiaaliyhtälöryhmiä. Näissä tuntemattomia funktioita ja yhtälöitä on yhtä monta. Jo aiemmin käsitelty korkeamman kertaluvun yhtälöä vastaava normaaliryhmä on eräs esimerkki, mutta muunkinlaisia differentiaaliyhtälöryhmiä toki on.
Ryhmä voidaan toisinaan ratkaista palauttamalla se yhdeksi korkeampaa kertalukua olevaksi yhtälöksi; kyseessä on tavallaan normaaliryhmän muodostamiselle käänteinen operaatio:
Lineaaristen differentiaaliyhtälöryhmien ratkaisemisessa voidaan hyödyntää matriisialgebraa. Seuraava dokumentti esittää idean, mutta yksityiskohtiin ei kurssilla ole mahdollista mennä, koska esitietoja matriisilaskennasta tarvittaisiin enemmän. Peruskurssilla L3 asiasta lisää.
Toisinaan differentiaaliyhtälöryhmä pystytään ratkaisemaan osittain, ts. saamaan sille ns. ensimmäinen integraali. Oheisessa esimerkissä muodostetaan kahden yhtälön autonomiselle ryhmälle ensimmäinen integraali ja osoitetaan tämän yhteys ratkaisukäyrien faasitasoesitykseen. Ryhmän ratkaisuista kannattaa piirtää kuvia myös DEWn:llä!
Alkuarvoprobleema voidaan myös ratkaista numeerisesti. Tällöin ratkaisulle etsitään halutulla välillä approksimaatio halutulla tarkkuudella:
Erilaisia numeerisen ratkaisemisen menetelmiä on useita. Nämä perustuvat yleensä kahteen perusideaan, jotka seuraavissa dokumenteissa esitetään ensin ensimmäisen kertaluvun yhtälölle ja sitten korkeampien kertalukujen yhtälöille. Ideat ovat hyvin samanlaiset kertaluvusta riippumatta. Voidaanhan nimittäin korkeampien kertalukujen yhtälöt kirjoittaa ensimmäistä kertalukua oleviksi normaaliryhmiksi, jolloin ne ovat ensimmäisen kertaluvun yhtälön muotoisia: y' = f(x,y). Tässä vain y ja f ovat vektoriarvoisia funktioita.
Perusideoita hieman eri tavoin soveltamalla saadaan useita erilaisia menetelmiä. Idealtaan yksinkertaisin on Eulerin menetelmä, tämän hieman kehitettu versio on parannettu Eulerin menetelmä, mutta kumpikaan ei ole kovin käyttökelpoinen. Esimerkkeinä monimutkaisemmista, mutta myös käyttökelpoisemmista menetelmistä esitetään seuraavassa kaksi muuta. Molempia todella käytetään. Kumpi on parempi, riippuu tarkasteltavan differentiaaliyhtälön luonteesta. (Tähän ei lähemmin paneuduta.) Lisäksi on olemassa melkoinen määrä muitakin, tiettyihin yhtälötyyppeihin soveltuvia ja tehokkaiksi kehitettyjä menetelmiä.
Alkuarvoprobleeman ratkaisu voi voimakkaasti riippua alkuehdosta: Pieni muutos alkuarvoissa voi merkitä oleellisesti erilaista ratkaisua. Tällaisissa tapauksissa sanotaan, että probleema on epästabiili. Sen ratkaisu voi myös käyttäytyä kaoottisesti. Numeerinen ratkaiseminen on tällöin lähes mahdotonta: laskennassa aina esiintyvät approksimointi- ja pyöristysvirheet saattavat johtaa täysin vääränlaiseen tulokseen. Ilmiötä käsittelee varsin laaja teoria, joka ei peruskurssiin kuulu. Esimerkkinä olkoon kuitenkin seuraava:
Muitakin approksimatiivisia menettelyjä differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi on. Eräs mahdollisuus on ratkaisun sarjakehitelmän muodostaminen:
Normaaliryhmän ja faasitason käsitteitä hyödynnetään seuraavissa heiluria koskevissa fysikaalisissa sovelluksissa. Heilurin liikeyhtälö esitetään usein linearisoidussa muodossa, jolloin se on pätevä vain riittävän pienille heilahduksille. Tässä on kuitenkin käytössä yhtälön yleinen muoto (jolloin kyseessä ei ole lineaarinen differentiaaliyhtälö). Voidaan siis tarkastella miten laajoja heilahduksia tahansa.
Ensisijaisesti kannattaa paneutua yksinkertaisempaan tapaukseen, tavalliseen heiluriin. Kiinnostuneet voivat tutkia myös kaoottisesti käyttäytyvää kaksoisheiluria.
Kaksoisheilurin liikeyhtälöiden johtaminen ei ole aivan yksinkertaista, mutta ne voidaan melko helposti johtaa Lagrangen teorian avulla. Teorian tunteville yhtälöiden johto Mathematican avulla on hyvä esimerkki symbolisen ohjelman mahdollisuuksista.
Kotitehtävät ovat seuraavat:
Tutki seuraavia harjoitustehtäviä ja laadi tutkimuksistasi Mathematica-dokumentti. Lähetä tämä sähköpostin liitetiedostona YY:lle viimeistään keskiviikkona 28.3.2001. Muista palautusohje!
Valitse viikon harjoitustehtäväkokoelmasta 3 – 5 erityyppistä tehtävää ja ratkaise ne. Kirjoita lyhyt selostus ratkaisuista ja niiden yhteydestä teoriaan. Luovuta selostuksesta paperikopio oman harjoitusryhmäsi assistentille viimeistään 28.3.2001.