Lineaariyhtälö ja integroiva tekijä

Lineaarinen epähomogeeninen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö y' + P (x)y = R(x) voidaan ratkaista integroivan tekijän menettelyllä.

Kertomalla yhtälö tekijällä

M(x) = e^{P(x) dx}

ja siirtelemällä termejä se saadaan muotoon + M(x)y' = 0. Tämän kerroinfunktioille pätee

= M(x)P (x) = M(x).

Yhtälö on siis eksakti ja M(x) on integroiva tekijä.

Ratkaisu on tällöin löydettävissä muodossa F (x, y) = C, missä

= M(x)P (x)y - M(x)R(x)  ja   = M(x).

Integroimalla jälkimmäinen yhtälö muuttujan y suhteen saadaan F (x, y) = M(x)y + g(x), missä g(x) on integroimisvakio. Edellisestä yhtälöstä seuraa tämän jälkeen

M(x)P (x)y + g'(x) = M(x)P (x)y - M(x)R(x)  eli  g'(x) = -M(x)R(x),

ja funktio g(x) saadaan yhdellä integroinnilla.

Yhdistämällä saadut tulokset ja kirjoittamalla tekijän M(x) lauseke paikoilleen saadaan yhtälö F (x, y) = C muotoon

ye^{P(x) dx} - R(x)e^{P(x) dx} dx = C.

Ratkaisemalla tästä y saadaan yhtälön yleinen ratkaisu:

y = Cy₁(x) + y₁(x) dx,

missä on merkitty

y₁(x) = e^{-P(x) dx}.

Lukija verratkoon tätä vakion varioinnilla saatavaan ratkaisuun!