Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen yhtälö

Lineaarisen epähomogeenisen differentiaaliyhtälön

y' - y = x² cos 3x

yleisen ratkaisun etsimiseksi on käsin laskettaessa ensin ratkaistava vastaava homogeeniyhtälö

y' - y = 0.

Tämä on separoituva: dy/y = 2dx/x. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on siten

y = Cx².

Epähomogeenisen yhtälön yleiseen ratkaisuun tarvitaan lisäksi jokin epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu. Tämä voidaan etsiä joko arvaamalla sen muoto ja sijoittamalla sopiva yrite yhtälöön tai yleispätevällä vakion variointi -menettelyllä.

Yhtälön muodon perusteella tuntuisi järkevältä valita yritteeksi y = Ax² sin 3x + Bx² cos 3x ja pyrkiä määrittämään vakiot A ja B sopivasti. Tämän derivointi nimittäin tuottaa paitsi samanmuotoisia termejä myös muotoja x sin 3x ja x cos 3x olevia termejä, joita toisaalta syntyy myös kerrottaessa yrite y funktiolla 2/x.

Yritteen sijoittaminen yhtälöön antaa

2Ax sin 3x+3Ax² cos 3x+2Bx cos 3x-3Bx² sin 3x-2Ax sin 3x-2Bx cos 3x = x² cos 3x

eli

3Ax² cos 3x - 3Bx² sin 3x = x² cos 3x.

Jotta yhtälö olisi voimassa kaikilla arvoilla x, on ilmeisestikin oltava A = ja B = 0. Yksittäisratkaisu on siis y = x² sin 3x, jolloin epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on

y = Cx² + x² sin 3x.

Epähomogeeniyhtälön yksittäisratkaisu voidaan myös hakea vakion varioinnilla, jolloin käytetään yritettä y = u(x)x² ja pyritään määrittämään sopiva funktio u(x). Tekijä x² on peräisin homogeeniyhtälön yleisestä ratkaisusta. Yritteen sijoittaminen yhtälöön antaa

x²u' + 2xu - 2xu = x² cos 3x.

Tästä supistuu funktio u pois (näin käy aina) ja jäljelle jää vain derivaatan u' sisältävä yhtälö u' = cos 3x. Tällä on ratkaisuna muiden ohella u = sin 3x, jolloin yksittäisratkaisuksi saadaan y = u(x)x² = x² sin 3x kuten edelläkin.