Toisen kertaluvun lineaarinen homogeeninen yhtälö: toinen perusratkaisu yleisellä menettelyllä

Toisen kertaluvun lineaarisessa ja homogeenisessa differentiaaliyhtälössä

(x + 1)y'' - xy' - y = 0

on kerroinfunktioiden x + 1, -x ja -1 summa = 0, jolloin sillä on ratkaisuna ainakin y = e^x .

Yleiseen ratkaisuun tarvitaan kuitenkin kaksi lineaarisesti riippumatonta yksittäisratkaisua. Kun toinen tiedetään, toinen voidaan aina etsiä yritteellä, jossa tunnettu ratkaisu kerrotaan tuntemattomalla funktiolla; tässä tapauksessa y = u(x)e^x .

Sijoittamalla yrite yhtälöön saadaan

(x + 1)(u'' + 2u' + u)e^x - x(u' + u)e^x - ue^x = 0,

mikä sievenee muotoon

(x + 1)(u'' + 2u') - xu' = 0.

Jäljelle jää siis vain funktion u derivaattoja, funktio itse supistuu pois. Menettelyssä käy aina tällä tavoin.

Saatua yhtälöä vastaava normaaliryhmä on

Jälkimmäinen yhtälö on separoituva ja antaa

v = ,

jolloin u saadaan yhdellä lisäintegroinnilla:

u = dt.

Integraali ei ole lausuttavissa alkeisfunktioiden avulla, mutta kyllä esimerkiksi symbolisten laskentaohjelmien tuntemien funktioiden avulla.

Toinen lineaarisesti riippumaton perusratkaisu on tällöin

y = e^x dt

ja homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu

y = C₁e^x + C₂e^x dt.

Koska integroitavalla funktiolla on nimittäjän nollakohta t = -1, on edellä esitetty ratkaisu pätevä vain alueessa x > -1, jolloin ei jouduta integroimaan nollakohdan yli. Differentiaaliyhtälön ratkaisua voidaan tarkastella myös alueessa x < -1, mutta tällöin on integraalin alaraja otettava tästä alueesta. (Alaraja sinänsä on mielivaltainen, koska etsitään vain jotakin sopivaa funktiota u.) Ratkaisuista vain C₁e^x jatkuu kohdan x = -1 yli; kaikkien muiden osalta tarkastelualue jakautuu tässä pisteessä kahtia. Tämä näkyy myös siten, että normaalimuodossa olevan yhtälön kerroinfunktioille x = -1 on nimittäjän nollakohta.