Airyn differentiaaliyhtälö

Airyn differentiaaliyhtälö on hyvin yksinkertainen toisen kertaluvun lineaarinen ja homogeeninen differentiaaliyhtälö, joka kuitenkaan ei ole ratkaistavissa tavallisten alkeisfunktioiden avulla:

Mathematica tuntee kuitenkin laajemman kokoelman funktioita, ja näiden avulla voidaan lausua sekä differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu että sen derivaatta:

Kaksi lineaarisesti riippumatonta yksittäisratkaisua saadaan antamalla sopivat alkuehdot ja ratkaisemalla näistä vakiot:

Saadut lausekkeet sisältävät uuden erikoisfunktion, gammafunktion. Tälle käytetään yleensä symbolia (kreikkalainen kirjain iso gamma).

Vakioita vastaavat yksittäisratkaisut ovat

Nämä voidaan -- hieman Mathematican versiosta riippuen -- saada myös suoraan DSolve-komennolla:

Näiden kuvaajista on nähtävissä eräitä toisen kertaluvun homogeeniyhtälölle luonteenomaisia piirteitä:

Jos differentiaaliyhtälössä vakio on positiivinen, kyseessä on vakiokertoiminen yhtälö, jonka ratkaisuna on , ts. sini-kosini-värähtely. Värähtelyn taajuus on sitä suurempi, mitä suurempi on. Negatiivisilla muuttujan arvoilla Airyn yhtälö on tämäntyyppinen: Yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon , ja sen ratkaisuna näyttää olevan värähtely, jonka taajuus kasvaa, kun kasvaa.

Vastaavalla tavalla Airyn yhtälö voidaan rinnastaa positiivisilla muuttujan arvoilla yhtälöön , missä on positiivinen. Tämän ratkaisut muodostuvat eksponenttifunktioista: .

Kuvaajat näyttävät myös toisen kertaluvun homogeeniyhtälöiden ratkaisuille tyypillisen ominaisuuden: Jos kahdella lineaarisesti riippumattomalla ratkaisulla on nollakohtia, nämä vuorottelevat. Toisen ratkaisun kahden peräkkäisen nollakohdan välissä on täsmälleen yksi toisen ratkaisun nollakohta. Todistus perustuu Wronskin determinantin ominaisuuksiin.