Esimerkit : Lineaariset yhtälöt

Homogeeninen vakiokertoiminen lineaariyhtälö

1) Viidettä kertalukua oleva vakiokertoiminen homogeeniyhtälö

y(5) - 9y(4) + 7y''' + 77y'' - 144y' - 364y = 0

ratkaistaan luontevimmin yritteellä y = erx. Kun tämä sijoitetaan yhtälöön saadaan

(r5 - 9r4 + 7r3 + 77r2 - 144r - 364)erx = 0.

Koska eksponenttitekijä voidaan jakaa pois, saadaan luvulle r viidennen asteen karakteristinen yhtälö

r5 - 9r4 + 7r3 + 77r2 - 144r - 364 = 0,

jonka juuret ovat r1 = -2, r2 = -2, r3 = 3 + 2i, r4 = 3 - 2i, r5 = 7.

Yleisessä tapauksessa yhtälön algebrallinen ratkaiseminen ei välttämättä onnistu. Tällöin juurille voidaan etsiä likiarvot numeerisilla menettelyillä, mutta tämä luonnollisesti johtaa epätarkkuuteen differentiaaliyhtälön ratkaisussa. Kvalitatiivisesti ratkaisun käyttäytymistä päästään kyllä tällöinkin tutkimaan.

Kutakin karakteristisen yhtälön juurta kohden voidaan muodostaa lineaarisesti riippumattomaan perusjärjestelmään kuuluva ratkaisu:

Koska r5 = 7 on yksinkertainen juuri, on vastaava perusratkaisu y5 = e7x.

Vastaavalla tavalla juurta r1 = -2 vastaa perusratkaisu y1 = e-2x. Kyseessä on kuitenkin kaksinkertainen juuri, jolloin sitä vastaamaan tarvitaan myös toinen perusratkaisu. Tämä saadaan lisäämällä muuttujan x ensimmäinen potenssi kertoimeksi: y2 = xe-2x. Jos kyseessä olisi kolminkertainen juuri, olisi kolmannessa perusratkaisussa muuttujan x toinen potenssi: x2e-2x jne.

Kompleksista juuriparia r3 = 3 + 2i, r4 = 3 - 2i vastaisivat oikeastaan lineaarisesti riippumattomat kompleksiset ratkaisut e(3+2i)x ja e(3-2i)x, mutta näiden sijaan voidaan ottaa reaaliset muodot y3 = e3x sin(2x), y4 = e3x cos(2x).

Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on perusratkaisujen lineaariyhdistely:

y = C1e-2x + C2xe-2x + C3e3x sin(2x) + C4e3x cos(2x) + C5e7x.

2) Differentiaaliyhtälön

y(4) - 4y''' + 14y'' - 20y' + 25y = 0

tapauksessa karakteristisella yhtälöllä

r4 - 4r3 + 14r2 - 20r + 25 = 0

on kaksinkertainen kompleksinen ratkaisu: r1 = r2 = 1 + 2i, r3 = r4 = 1 - 2i.

Kompleksisessa muodossa perusratkaisut olisivat tällöin er1x, er3x, xer1x, xer3x, mutta näitä vastaavat reaaliset ratkaisut ex sin(2x), ex cos(2x), xex sin(2x), xex cos(2x).

Yleinen ratkaisu on siten

y = C1ex sin(2x) + C2ex cos(2x) + C3xex sin(2x) + C4xex cos(2x).


Ratkaiseminen: vakiokertoiminen homogeeniyhtälö

SKK 15.5.2001