rtksij.nb
Esimerkit : Ratkaisut yleensä

Differentiaaliyhtälön ratkaisun sijoittaminen yhtälöön

Lausekemuotoisen ratkaisun sijoittaminen

Olkoon tarkastelun kohteena differentiaaliyhtälö

[Graphics:Images/rtksij_gr_1.gif]
[Graphics:Images/rtksij_gr_2.gif]

jonka lausekemuotoinen ratkaisu on

[Graphics:Images/rtksij_gr_3.gif]
[Graphics:Images/rtksij_gr_4.gif]

Kyseessä on ratkaisufunktiota [Graphics:Images/rtksij_gr_5.gif] koskeva sijoitussääntö. Vastaavat sijoitussäännöt derivaatoille saadaan tätä derivoimalla:

[Graphics:Images/rtksij_gr_6.gif]
[Graphics:Images/rtksij_gr_7.gif]
[Graphics:Images/rtksij_gr_8.gif]
[Graphics:Images/rtksij_gr_9.gif]

Sijoitussäännöt voidaan yhdistää yhdeksi sijoituslistaksi Flatten-komennolla ja sijoittaa yhtälöön:

[Graphics:Images/rtksij_gr_10.gif]
[Graphics:Images/rtksij_gr_11.gif]

Tämän sieventäminen osoittaa, että yhtälö toteutuu:

[Graphics:Images/rtksij_gr_12.gif]
[Graphics:Images/rtksij_gr_13.gif]

Funktiomuotoisen ratkaisun sijoittaminen

Hieman vähemmällä päästään, jos differentiaaliyhtälön ratkaisu halutaan funktion eikä lausekkeen muodossa:

[Graphics:Images/rtksij_gr_14.gif]
[Graphics:Images/rtksij_gr_15.gif]

Sijoittamalla differentiaaliyhtälöön saadaan

[Graphics:Images/rtksij_gr_16.gif]
[Graphics:Images/rtksij_gr_17.gif]

minkä jälkeen sieventäminen osoittaa, että yhtälö toteutuu:

[Graphics:Images/rtksij_gr_18.gif]
[Graphics:Images/rtksij_gr_19.gif]

Derivaattoja koskevia sijoitussääntöjä ei siis tarvitse erikseen muodostaa.


Ratkaiseminen: ratkaiseminen algebrallisesti Mathematicalla

SKK 27.04.2001