Esimerkit : Yhtälöryhmät

Toisen tai korkeamman kertaluvun yhtälön muuntaminen normaaliryhmäksi

1) Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä

x2y'' + 2xy' + y'2y2 = 0

vastaava normaaliryhmä muodostetaan seuraavasti: Otetaan käyttöön uusi tuntematon funktio z = y' ; tällöin y'' = z'. Differentiaaliyhtälö saa nyt muodon

x2z' + 2xz + z2y2 = 0.

Normaaliryhmässä on kaksi tuntematonta funktiota, y ja z; ryhmän yhtälöt esittävät näiden derivaatat funktioiden ja muuttujan x avulla:

{  y'=  z,
                2 2
   z'=  - 2z-- y-z-.
          x     x2

2) Neljännen kertaluvun yhtälöä y'''' + xy = 0 vastaavaa normaaliryhmää muodostettaessa uusiksi tuntemattomiksi funktioiksi otetaan funktion y derivaatat kolmanteen kertalukuun saakka: u = y', v = y'', w = y'''. Tällöin y' = u, u' = y'' = v, v' = y''' = w ja differentiaaliyhtälön mukaan w' = y'''' = -xy.

Normaaliryhmä on siten

   y'=  u,

{  u'=  v,
   v'=  w,
    '
  w  =  -xy.

Ryhmä voidaan kirjoittaa vektorimuotoon merkitsemällä

Y = (  )
  y
  u
  v
  w

ja määrittelemällä vektoriarvoinen funktio F yhtälöllä

F (x, Y ) = (   u )

    v
   w
  - xy .

Tällöin normaaliryhmä vastaa vektoriyhtälöä

Y ' = F (x, Y ).


Teoria: normaaliryhmä

SKK 15.5.2001