Ratkaiseminen : Algebrallisen ratkaisemisen menetelmät

Eulerin yhtälön muuntaminen ja ratkaiseminen

Lineaarista ja homogeenista differentiaaliyhtälöä

Pn(x)y(n) + Pn-1(x)y(n-1) + . . . + P1(x)y' + P0(x)y = 0

kutsutaan Eulerin yhtälöksi, jos kerroinfunktiot ovat muotoa Pk(x) = akxk, missä luvut ak ovat vakioita.

Tämä voidaan muuntaa vakiokertoimiseksi yhtälöksi sijoituksella x = et eli t = ln x. Tällöin on rajoituttava arvoihin x > 0. Tuntemattoman funktion y(x) sijaan tulee tällöin uusi tuntematon funktio u(t):

y(x) = y(et) = u(t).

Funktion u derivaatat ovat

u'(t) = y'(x)et,
u''(t) = y''(x)(et)2 + y'(x)et,
u'''(t) = y'''(x)(et)3 + 3y''(x)(et)2 + y'(x)et,
. . .
Ratkaisemalla näistä perättäin funktio y ja sen derivaatat saadaan
y(x) = u(t),
y' (x) = e-tu'(t) = x-1u'(t),
y'' (x) = e-2t(u''(t) - u'(t)) = x-2(u''(t) - u'(t)),
y''' (x) = e-3t(u'''(t) - 3u''(t) + 2u'(t)) = x-3(u'''(t) - 3u''(t) + 2u'(t)),
. . .
Kun nämä sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön, supistuvat kerroinfunktioissa olevat muuttujan x potenssit pois ja jäljelle jää funktiota u(t) koskeva vakiokertoiminen yhtälö. Tämän perusratkaisut ovat muotoa u(t) = erkt tai yhtyvien juurien tapauksessa muotoa u(t) = tp erk t , p = 1, 2, . . . . Palaamalla muuttujaan x saadaan

y(x) = u(t) = u(ln x) = xrk

tai yhtyvien juurien tapauksessa y(x) = (ln x)pxrk.

Jos kerroin rk on kompleksinen, ts. rk = ak + ibk, on syytä ensin lausua eksponenttimuotoinen ratkaisu reaalimuodossa ja vasta tämän jälken sijoittaa t = ln x:

y(x) = u(t) = eakt[C1 cos(bkt) + C2 sin(bkt)] = xak [C1 cos(bk ln x) + C2 sin(bk ln x)].

Eulerin yhtälö ratkaistaankin edellä sanottuun perustuen yleensä yritteellä y = xr, jolloin siirtymistä uuteen muuttujaan t ei tarvitse tehdä. Yritteen sijoittaminen yhtälöön antaa astetta n olevan polynomiyhtälön eksponentille r.


Esimerkki: Eulerin yhtälö
Teoria: yhtälön muuntaminen sijoituksella
Esimerkki: Eulerin yhtälön muuntaminen vakiokertoimiseksi symbolisella ohjelmalla

SKK 15.5.2001