Erilaiset yhtälötyypit

Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen perinteisillä käsinlaskumenetelmillä algebrallisesti, so. integrointi- ja derivointikaavoja hyödyntämällä, perustuu yhtälön tyypin tunnistamiseen ja tälle tyypille ominaisten menettelyjen käyttämiseen.

• Ensimmäisen kertaluvun yhtälö on separoituva, jos se voidaan kirjoittaa muotoon f(y)y' = g(x), missä f ja g ovat yhden muuttujan funktioita.
• Useat ensimmäisen kertaluvun yhtälöt voidaan sopivilla sijoituksilla palauttaa separoituviksi.
• Toisen ja korkeamman kertaluvun yhtälöt voidaan kirjoittaa normaaliryhmän muotoon ja toisinaan tämän kautta palauttaa separoituviksi.
• Ensimmäisen kertaluvun yhtälö voi olla eksakti, jolloin se voidaan integroida muotoon F (x, y) = C.
• Vaikka ensimmäisen kertaluvun yhtälö ei olisikaan eksakti, siitä mahdollisesti voidaan saada eksakti kertomalla se sopivalla integroivalla tekijällä.
• Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen yhtälö on muotoa

  P₁(x)y' + P₀(x)y = R(x),

  toisen kertaluvun muotoa

  P₂(x)y'' + P₁(x)y' + P₀(x)y = R(x),

  kolmannen kertaluvun muotoa

  P₃(x)y''' + P₂(x)y'' + P₁(x)y' + P₀(x)y = R(x)

  jne. Jos R(x) = 0 kaikilla x, yhtälö on homogeeninen; jos näin ei ole, se on epähomogeeninen.

• Jos lineaariyhtälössä kerroinfunktiot P_k(x) ovat vakioita, yhtälö on vakiokertoiminen.
• Jos homogeenisen lineaariyhtälön kerroinfunktiot ovat muotoa P_k(x) = a_kx^k (missä a_k on vakio), kyseessä on Eulerin yhtälö.
• Lineaarinen differentiaaliyhtälöryhmä muodostuu useasta lineaarisesta yhtälöstä. Yhtälöitä ja tuntemattomia funktioita on yhtä paljon.

Suuri osa — enemmistö — differentiaaliyhtälöistä on kuitenkin sellaisia, että niiden ratkaiseminen algebrallisesti tavallisten alkeisfunktioiden avulla ei ole mahdollista. Tällöin turvaudutaan esimerkiksi sarjaratkaisuihin tai numeerisiin ratkaisuihin.

Ratkaisut voidaan usein lausua myös ns. erikoisfunktioiden avulla. Näiden määrittelyssä käytetään erilaisia tapoja ja määrittelyn pohjalta johdetaan funktioille laskuominaisuuksia. Voidaan ajatella, että kyseessä on alkeisfunktiokokoelman laajentaminen.