Wronskin determinantti

Toisen kertaluvun lineaarisen ja homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisuista y₁, y₂ ja niiden derivaatoista muodostettu determinantti

W (y₁, y₂) = = y₁y₂' - y₂y₁'

on yhtälön Wronskin determinantti (puolalais-ranskalaisen matemaatikon Josef Maria Hoëné Wronskin mukaan; 1778 – 1853).

Korkeampien kertalukujen yhtälöiden Wronskin determinantit muodostetaan samankaltaisella tavalla. Jos kertaluku on n, determinantti on

W (y₁, y₂, . . . , y_n) = .

Tämä voidaan laskea kuten mikä tahansa determinantti kehittämällä jonkin vaaka- tai pystyrivin mukaan, jolloin saadaan lineaariyhdistely n - 1-rivisistä determinanteista. Esimerkiksi j:nnen vaakarivin mukaan kehitettäessä saataisiin

W (y₁, y₂, . . . , y_n) = (-1)^j+kyW_jk,

missä W_jk tarkoittaa (n - 1)-rivistä determinanttia, joka saadaan alkuperäisestä poistamalla j:s vaaka- ja k:s pystyrivi. Jokainen determinantti W_jk kehitetään vastaavalla tavalla lineaariyhdistelyksi (n - 2)-rivisiä determinantteja jne., kunnes päädytään kaksirivisiin determinantteihin, jotka lasketaan kuten alussa on osoitettu.

Wronskin determinantin merkitys lineaaristen differentiaaliyhtälöiden teoriassa perustuu siihen, että se totetuttaa differentiaaliyhtälön W ' + P_n-1(x)W = 0, missä P_n-1 on normaalimuodossa olevan differentiaaliyhtälön kertalukua n - 1 olevan derivaatan kerroinfunktio. Tästä voidaan ratkaista Wronskin deteminantti, ilman että ratkaisuja y_k on tarpeen tuntea:

W (y₁(x), y₂(x), . . . , y_n(x)) = Ce^{-P_n-1(x) dx}.

Lausekkeesta näkyy, että Wronskin determinantti ei muuta merkkiään, jos normaalimuotoisen differentiaaliyhtälön kerroinfunktiot ovat jatkuvia. Minkä merkkinen determinantti on tai onko se = 0, riippuu vakiosta C eli siitä, mitkä ratkaisut y₁ ,  y₂ ,  . . . ,  y_n ovat kysymyksessä. Tärkein Wronskin determinanttia koskeva lause on seuraava:

Lause. Wronskin determinantti on = 0 (ts. C = 0), jos ja vain jos homogeeniyhtälön ratkaisut y₁ ,  y₂,  . . . ,  y_n ovat lineaarisesti riippuvia.

Monia muitakin lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisuja koskevia lauseita voidaan todistaa Wronskin determinanttiin pohjautuen.