Teoria : Peruskäsitteet

Alkuehto

Differentiaaliyhtälön yleisessä ratkaisussa olevat määräämättömät vakiot voidaan kiinnittää vaatimalla ratkaisulta lisäominaisuuksia.

Ensimmäisen kertaluvun yhtälön ratkaisussa vakioita on yksi ja tämän arvo saadaan (yleensä) kiinnitetyksi vaatimalla, että ratkaisufunktio saa annetun arvon y0 tietyssä pisteessä x0 , ts. y(x0) = y0.

Toisen kertaluvun yhtälön tapauksessa vakioita on kaksi ja lisäehdot voivat olla esimerkiksi y(x0) = y0, y'(x0) = y1.

Kertalukua n olevan yhtälön tapauksessa tarvitaan n lisäehtoa:

y(x0) = y0,   y'(x0) = y1,   y''(x0) = y2,   . . . ,   y(n-1)(x0) = yn-1.

Jos kaikki lisäehdot annetaan samalla muuttujan arvolla x0, sanotaan, että kyseessä ovat alkuehdot (tai alkuehto; myös usean yhtälön tapauksessa näiden voidaan katsoa muodostavan vain yhden ehdon). Differentiaaliyhtälöä alkuehtoineen kutsutaan alkuarvoprobleemaksi.

Kun määräämättömien vakioiden arvot on kiinnitetty saadaan differentiaaliyhtälön yksittäisratkaisu.

Nimitys ’alkuehto’ aiheutuu siitä, että sovelluksissa usein differentiaaliyhtälö kuvaa jonkin ilmiön kehittymistä ajan mukana. Tällöin muuttuja x tarkoittaa aikaa ja ollaan kiinnostuneita ilmiön kehittymisestä tietystä alkutilasta lähtien. Alkutilaa kuvataan funktion y ja sen derivaattojen arvoilla alkuhetkellä x0. Näitä vastaava ratkaisu arvoilla x > x0 kuvaa ilmiön kehittymistä.


Teoria: yleinen ja yksittäisratkaisu
Esimerkki: alkuehto ja yksittäisratkaisu symbolista ohjelmaa käyttäen
Sovellus: kappaleen jäähtyminen
Sovellus: värähtelevä jousi

SKK 15.5.2001