Esimerkit : Lineaariset yhtälöt

Toisen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen yhtälö: yksittäisratkaisu vakioiden varioinnilla

Toisen kertaluvun lineaarista epähomogeenista yhtälöä

y'' + y = 2x sin x

vastaava homogeeniyhtälö y'' + y = 0 on vakiokertoiminen, ja sen yleinen ratkaisu on y = C1 sin x + C2 cos x.

Epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun muoto on vaikeasti arvattavissa. Ainoaksi mahdollisuudeksi jää tällöin soveltaa yleistä vakioiden variointi -menettelyä, jolloin yritteeksi otetaan y = u(x) sin x + v(x) cos x ja pyritään määrittämään funktiot u ja v siten, että tämä toteuttaa yhtälön.

Yritteen derivaatta on y' = u cos x - v sin x + u' sin x + v' cos x, mutta tätä yksinkertaistetaan asettamalla lisäehto

u' sin x + v' cos x = 0,

jolloin y' = u cos x - v sin x. Toinen derivaatta on tällöin y'' = -u sin x - v cos x + u' cos x - v' sin x. Derivaattojen sijoittaminen differentiaaliyhtälöön johtaa itse funktioiden u ja v supistumiseen pois (näin käy menettelyssä aina), ja jäljelle jää vain derivaattoja koskeva yhtälö

u' cos x - v' sin x = 2x sin x.

Derivaatoille u' ja v' on tällöin saatu lineaarinen yhtälöryhmä

{
  u'cosx -  v'sin x = 2x sin x,

  u'sinx + v'cos x = 0,

josta ratkaisemalla saadaan

u' = 2x sin x cos x = x sin 2x,   v' = -2x sin 2x = x(cos 2x - 1).

Näiden integrointi antaa

u(x) = 1
4 sin 2x - 1-
2x cos 2x + vakio,   v(x) = 1-
4 cos 2x + 1-
2x sin 2x - 1-
2x2 + vakio.

Etsitty yksittäisratkaisu on tällöin y = u(x) sin x + v(x) cos x. Asettamalla vakiot = 0 ja sieventämällä trigonometrisesti tämä voidaan saada muotoon

y = u(x) sin x + v(x) cos x = 1
--
4 cos x + 1
--
2x sin x - 1
--
2x2 cos x.

Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu saadaan laskemalla yhteen homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu ja saatu yksittäisratkaisu. Koska vakiot C1 ja C2 ovat mielivaltaisia, voidaan yksittäisratkaisun termi 1
4 cos x ajatella yhdistettäväksi termiin C2 cos x, jolloin yleiseksi ratkaisuksi saadaan

y = C1 sin x + C2 cos x + 1
--
2(x sin x - x2 cos x).


Ratkaiseminen: toisen kertaluvun epähomogeeninen yhtälö
Ratkaiseminen: vakoikertoiminen homogeeniyhtälö

SKK 15.5.2001