Homogeenisen kolmannen kertaluvun lineaariyhtälön yleinen ratkaisu

Kolmannen kertaluvun lineaarisella ja homogeenisella differentiaaliyhtälöllä

(x - 1)y''' - xy'' + y' = 0

on ilmeisestikin ratkaisuna vakiofunktio, esimerkiksi y₁(x) = 1. Koska kerroinfunktioiden x - 1, -x ja 1 summa on = 0, on ratkaisuna myös eksponenttifunktio y₂(x) = e^x. Melko helposti on havaittavissa, että lisäksi funktio y₃(x) = x² toteuttaa yhtälön.

Lineaarista ja homogeenista yhtälöä koskeva teoria sanoo tällöin, että yhtälön yleinen ratkaisu saadaan näistä:

y = C₁ + C₂e^x + C₃x².

Edellytyksenä on, että funktiot 1, e^x ja x² ovat lineaarisesti riippumattomia. Näin kuitenkin on, mikä nähdään esimerkiksi sijoittamalla testiyhtälöön ₁ + ₂e^x + ₃x² = 0 arvot x = 0, x = 1, x = -1 ja ratkaisemalla saatu lineaarinen yhtälöryhmä

Saatu yleinen ratkaisu on kaikkialla säännöllinen. Differentiaaliyhtälö ei kuitenkaan täytä alkuarvoprobleeman ratkaisun olemassaoloa koskevan lauseen ehtoja. Normaalimuodossa differentiaaliyhtälö nimittäin on

y''' - y'' + y' = 0,

joten vaatimukset kerroinfunktioiden jatkuvuudesta eivät täyty välillä, joka sisältää pisteen x = 1. Ratkaisujen kannalta ei tämä piste kuitenkaan näytä poikkeukselliselta ainakaan ensi näkemältä. Se on kuitenkin piste, jossa yhtälön ratkaisu ei toteuta mitä tahansa alkuehtoa. Yleisen ratkaisun derivaatat nimittäin ovat

y' = C₂e^x + 2C₃x  ja  y'' = C₂e^x + 2C₃,

ja pisteessä x = 1 nämä saavat saman arvon vakioista C₂ ja C₃ riippumatta. Ratkaisua ei siis löydy, jos alkuehdossa vaaditaan, että y'(1) ja y''(1) saavat eri suuret arvot.