Esimerkit : Lineaariset yhtälöt

Lineaarisesti riippumattomat ja lineaarisesti riippuvat funktiot

1) Olkoon tutkittavana funktioiden y1(x) = sin x, y2(x) = cos x ja y3(x) = cos 2x lineaarinen riippuvuus tai riippumattomuus tarkasteluvälinä koko reaaliakseli.

Testiyhtälö on

c1 sin x + c2 cos x + c3 cos 2x = 0  kaikilla x  (- R.

Koska tämä on voimassa kaikilla arvoilla x, se on erityisesti voimassa, jos x = 0, x = p/2 tai x = p. Näillä arvoilla saadaan yhtälöryhmä

{   c2 + c3 =  0,
    c1 - c3 =  0,

   -c2 + c3 =  0.

Laskemalla ensimmäinen ja kolmas yhtälö yhteen päädytään tulokseen c3 = 0, minkä jälkeen seuraa selvästikin myös c1 = c2 = 0.

Koska kaikki kertoimet c1, c2, c3 ovat välttämättä = 0, funktiot ovat lineaarisesti riippumattomat.

2) Olkoon tarkasteltavana funktiot y1(x) = sin 2x, y2(x) = cos 2x ja y3(x) = cos 2x.

Testiyhtälö on nyt

c1 sin 2x + c2 cos 2x + c3 cos 2x = 0.

Samalla tavalla kuin edellä saataisiin nyt yhtälöryhmä

   c2 + c3 = 0,
{
  c1 - c3 =  0,
   c2 + c3 = 0.

Tällä on edellisestä poiketen ratkaisuna esimerkiksi c1 = -c2 = c3 = 1. Tuloksesta ei kuitenkaan voida päätellä, että funktiot olisivat lineaarisesti riippuvia: voisihan olla, että valitsemalla joitakin muita arvoja kuin 0, p/2 ja p muuttujalle x päädyttäisiin yhtälöryhmään, jolla nollasta eroavia ratkaisuja ei olisi. Koska kaikkia muuttujan x arvoja ei tällä tavoin voida käydä lävitse, ei menettely johda tulokseen.

Funktiot kuitenkin ovat lineaarisesti riippuvia, sillä trigonometrian kaava

cos 2x = cos 2x - sin 2x  eli   sin 2x - cos 2x + cos 2x = 0

on voimassa kaikilla muuttujan x arvoilla. Testiyhtälöllä on siten ratkaisuna ainakin c1 = 1, c2 = -1, c3 = 1.


Teoria: lineaarinen riippumattomuus

SKK 15.5.2001